Question

【题目】如图所示，在底面为梯形的四棱锥S﹣ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC＝60°，，SA＝SC＝SD＝2．

（1）求证：AC⊥SD；

（2）求三棱锥B﹣SAD的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取AC中点O，连结OD，SO，由等腰三角形的性质可知AC⊥SO，AC⊥OD，故AC⊥平面SOD，于是AC⊥SD；

（2）由△ASC是等边三角形可求得SO，AC，结合已知条件，利用勾股定理得AD⊥CD，SO⊥OD，故SO⊥平面ABCD，再利用三棱锥体积转化计算即可．

（1）取AC中点O，连结OD，SO，∵SA＝SC，∴SO⊥AC，∵AD＝CD，∴OD⊥AC，

又∵OS平面SOD，OD平面SOD，OS∩OD＝O，∴AC⊥平面SOD，∵SD平面SOD，∴AC⊥SD．

（2）∵SA＝SC＝2，∠ASC＝60°，∴△ASC是等边三角形，∴AC＝2，OS＝，

∵AD＝CD＝，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，OD＝＝1．

∵SD＝2，∴SO2+OD2＝SD2，∴SO⊥OD，

又∵SO⊥AC，AC平面ABCD，OD平面ABCD，AC∩OD＝O，∴SO⊥平面ABCD，

∴V棱锥B﹣SAD＝V棱锥S﹣ABD＝S△ABDSO＝．