Question

【题目】如图，在以、、、、、为顶点的五面体中，四边形为正方形，， ，．

（1）证明；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）证明出平面，然后利用线面平行的性质定理可证明出，再利用空间平行线的传递性可得出结论；

（2）证明出平面平面，然后作，垂足为，可得出平面，由此以点为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，为单位长建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出二面角的平面角的余弦值.

（1）四边形为正方形，，

平面，平面，平面，

平面，平面平面，，因此，；

（），，，平面，

平面，平面平面，

作，垂足为，平面，平面平面，平面，

以点为坐标原点，方向为轴正方向，为轴正方向，为单位长，如图建立空间直角坐标系，

则，

，，，．

，，

设平面的法向量为，

则，即，取，则，，所以， ，

又，，

设平面的法向量为，

则即，令，则，，，

设二面角的平面角为，．

即二面角的平面角的余弦值为．