Question

已知y=f（x）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且在［0，+∞）上为增函数，

（1）求证：函数在（-∞，0）上也是增函数；

（2）如果f（）=1，解不等式-1＜f（2x+1）≤0.

Answer 1

解析：证明函数的单调性，通常利用单调性的定义进行证明；对抽象不等式，常把常数看成某些变量的函数值，再利用函数的性质去“外层包装”，取出x，化成一元一次或二次不等式求解.

（1）证明：设x₁、x₂是（-∞，0］上任意两个不相等的实数，且x₁＜x₂，

则-x₁，-x₂∈［0，+∞），且-x₁＞-x₂，Δx=x₂-x₁＞0，Δy=f（x₂）-f（x₁）.

∵f（x）是奇函数，且在［0，+∞）上是增函数，-x₁＞-x₂，

∴f（-x₁）＞f（-x₂）.

又∵f（x）为奇函数，∴f（-x₁）=-f（x₁），

f（-x₂）=-f（x₂）.

∴-f（x₁）＞-f（x₂），即f（x₁）＜f（x₂），

即Δy=f（x₂）-f（x₁）＞0.

∴函数f（x）在（-∞，0］上也是增函数.

（2）解：∵f（x）是R上的奇函数，

∴f（0）=0，f（-）=-f（）=-1.

由-1＜f（2x+1）≤0，得f（-）＜f（2x+1）≤f（0）.

又∵f（x）在（-∞，0）上是增函数，∴-＜2x+1≤0，

得-＜x≤-.

∴不等式的解集为{x|-＜x≤-}.