Question

【题目】已知圆经过点， 和直线相切.

（1）求圆的方程；

（2）若直线经过点，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）(x－1)2＋(y＋2)2＝2．（2）x＝2或3x－4y－6＝0．

【解析】

（1）根据圆的弦的中垂线过圆心以及圆心到切线的距离等于半径可求得圆心坐标及半径的大小，从而可得结果；（2）若直线斜率不存在，符合题意；若直线斜率存在，可设直线方程为，利用点到直线距离公式列方程可求出的值，从而可得结果.

（1）由题知，线段AB的中点M(1,－2)， ,

线段AB的垂直平分线方程为，即，

设圆心的坐标为C(a，－a－1)，

则，

化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．∴C(1，－2)，

半径r＝|AC|＝＝．

∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2．

（2）由题知圆心C到直线l的距离，

①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l被圆C截得的弦长为2，

满足条件．

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由题意得，

解得k＝，

∴直线l的方程为y＝（x－2）．

综上所述，直线l的方程为x＝2或3x－4y－6＝0．