Question

设函数f（x）=2^x-1的反函数为f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）．
（1）求f^-1（x）及其定义域；
（2）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范围D；
（3）设H（x）=g（x）-f^-1（x），当x∈D时（D为（2）中所求）时，函数H（x）的图象与直线y=a有公共点，求实数a的取值范围．
（4）设H（x）=g（x）-

1

2

f^-1（x），当x∈D时（D为（2）中所求）时，函数H（x）的图象与直线y=a有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵y=f（x）=2^x-1
∴x=log₂^（y+1）
∴y=log₂^（x+1）
∵x+1＞0
∴x＞-1
∴函数f（x）=2^x-1的反函数为f^-1（x）=log₂^（x+1）定义域为（-1，+∞）
（2）由（1）可知f^-1（x）≤g（x）等价转化为若log₂^（x+1）≤log2

3x+1

若log₂^（x+1）≤log2

3x+1

∴

x+1＞0 3x+1＞0 3x+1 ≥x+1

∴0≤x≤1
故D=[0，1]
（3）由条件和（1）可得H（x）=log2

3x+1

x+1

（0≤x≤1）
令t=

3x+1

x+1

（0≤x≤1）则t^′=

1-3x

2 3x+1 (x+1)2

（0≤x≤1）
∴0≤x≤

1

3

时t=

3x+1

x+1

单调递增，

1

3

＜x≤1时t=

3x+1

x+1

单调递减
∴当t=

1

3

时tmax=

3 2

4

∵当x=0时t=1，x=1时t=1
∴1≤t≤

3 2

4

∴0≤log2

3x+1

x+1

≤log2

3 2

4

∴要使函数H（x）的图象与直线y=a有公共点则有0≤a≤log2

3 2

4

（4）由条件和（1）可得H（x）=

1

2

log2

3x+1

x+1

（0≤x≤1）
令t=

3x+1

x+1

（0≤x≤1）则t′=

2

(x+1)2

＞0在0≤x≤1上恒成立故t=

3x+1

x+1

在0≤x≤1上单调递增
∴1≤t≤2
∴0≤

1

2

log2

3x+1

x+1

≤

1

2

∴要使函数H（x）的图象与直线y=a有公共点则有0≤a≤

1

2