Question

（理）已知α、β均为锐角，cos(α+β)=-

4

5

，若设sinβ=x，cosα=y，则y关于x的函数关系为

y=-

4

5

1-x2

+

3

5

x，（

3

5

＜x＜1）

．

Answer 1

分析：利用同角三角函数的基本关系求出cosβ=

1-x2

，sinα=

1-y2

，sin（α+β）=

3

5

，由y=cosα=
cos[（α+β）-β]，利用两角和差的余弦公式展开化简可得结果．

解答：解：∵α、β均为锐角，sinβ=x，cosα=y，∴cosβ=

1-x2

，sinα=

1-y2

．
∵cos(α+β)=-

4

5

，∴α+β 为钝角，故sin（α+β）=

3

5

．
故y=cosα=cos[（α+β）-β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=-

4

5

1-x2

+

3

5

x，
即 y=-

4

5

1-x2

+

3

5

x．
再由 0＜y＜1且0＜x＜1，求得

3

5

＜x＜1，
故答案为：y=-

4

5

1-x2

+

3

5

x，（

3

5

＜x＜1）．

点评：本题主要考查两角和差的余弦公式，同角三角函数的基本关系，角的变换是解题的关键，属于中档题．