Question

（2012•即墨市模拟）设函数f（x）=x³-ax，x∈R．过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）已知当x∈（1，+∞）时，f（x）-kf（x-1）≥0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x³-ax，x∈R，得f′（x）=3x²-a≥-a，由过图象上一点斜率最小的切线的斜率k=-a和过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2，能求出a．
（2）由（1）知f（x）=x³-x，f′（x）=3x²-1，令f′（x）=3x²-1=0，得x=±

3

3

．列表讨论能求出函数f（x）的单调区间和极值．
（3）由f（x）-kf（x-1）≥0，f（x）=x³-x，得k≤

f(x)

f(x-1)

=

x3-x

(x-1)3-(x-1)

=1+

3

x-2

，由此能求出k有范围．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-ax，x∈R，
∴f′（x）=3x²-a≥-a，
∴过图象上一点斜率最小的切线的斜率k=-a，
∵过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2，
∴-a=-1，故a=1．
（2）∵a=1，∴f（x）=x³-x，f′（x）=3x²-1，
令f′（x）=3x²-1=0，得x=±

3

3

．
列表讨论：

x	（-∞，- 3 3 ）	- 3 3	（- 3 3 ， 3 3 ）	3 3	（ 3 3 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

由表讨论知：函数f（x）的单调增区间是 （-∞，-

3

3

）、（

3

3

，+∞）；单调减区间是（-

3

3

，

3

3

）．
极大值f（-

3

3

）=-

3

9

+

3

3

=

2 3

9

，
极小值f（

3

3

）=

3

9

-

3

3

=-

2 3

9

．
（3）f（x）-kf（x-1）≥0，f（x）=x³-x，
当x=2时，f（x）-kf（x-1）≥0恒成立，
当x≠2时，k≤

f(x)

f(x-1)

=

x3-x

(x-1)3-(x-1)

=

x(x-1)(x+1)

x(x-1)(x-2)

=

x+1

x-2

=1+

3

x-2

，
而1+

3

x-2

∈（-2，1）∪（1，+∞），
∴k≤-2．

点评：本题考查实数值的求法，考查单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意列表讨论法和分离变量法的灵活运用．