Question

四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=，∠ACB=90°．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角D-PC-A的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，知PA⊥BC，由此能够证明BC⊥平面PAC．
（Ⅱ）法一：由∠BAD=120°，AB∥CD，知∠ADC=60°，由AD=CD=1，知△ADC为正三角形以A为原点，CD边的中线所在直线为x轴，直线AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角D-PC-A的平面角的余弦值．
法二：（三垂线法作二面角的平面角）取AC中点M，则DM⊥AC，又PA⊥DM，所以DM⊥面PAC，从而DM⊥PC，作MN⊥PC于N，则PC⊥面DMN，所以∠DNM即为二面角D-PC-A的平面角，由此能求出二面角D-PC-A的平面角的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，
∴PA⊥BC，又AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，∠ACB=90°，
所以BC⊥AC，而AC∩PA=A，
所以BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）（方法一）∵∠BAD=120°，AB∥CD，
∴∠ADC=60°，又AD=CD=1，
∴△ADC为正三角形
以A为原点，CD边的中线所在直线为x轴，直线AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，
由（1）取面PAC的法向量，
由于AB∥CD，知AB∥面PCD，
故可设面PCD的法向量，
则，
∴x=2，即，
∴，
所以，二面角D-PC-A的平面角的余弦值为．
（方法二：三垂线法作二面角的平面角）取AC中点M，
则DM⊥AC，又PA⊥DM，
所以DM⊥面PAC，从而DM⊥PC，
作MN⊥PC于N，则PC⊥面DMN，
所以∠DNM即为二面角D-PC-A的平面角，
由题设条件求得，，
所以=，
于是，
即二面角D-PC-A的平面角的余弦值为．
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地选择解题方法．