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【题目】已知函数有三个极值点

(1)求实数的取值范围;

(2)求证:.

【答案】(1);(2)证明见解析.

【解析】

1)函数3个零点等价于有3个变号零点,由于,且,所以可得有两个不为0,-1的实根,再对求导讨论其单调性可得结果;

2)由(1)可知有一个零点为0,所以不妨设,而,所以,因此要证,即证,而上递减,,所以只需证,即,然后构造函数,只需证此函数值恒大于零即可.

解:(1)利用的极值点个数即为的变号零点个数

,设

由已知,方程有两个不为0,-1的实根,

时,上递增,至多一个实根,故

所以上递减,在上递增,

因为

所以时,有两个实根,

解得

(2)由(1)不妨设,∵,∴.

要证,即证

上递减,在上递增,且

故只要证,又,故只要证

即证

递增,∴

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n

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