Question

已知等比数列{a_n}满足a₂=2，且2a₃+a₄=a₅，a_n＞0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（-1）ⁿ3a_n+2n+1，数列{b_n}的前项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，则

a1q=2 2a1q2+a1q3=a1q4

，解方程可求a₁，q结合等比数列的通项公式即可求解
（Ⅱ）由b_n=（-1）ⁿ3a_n+2n+1=-3•（-2）^n-1+2n+1，利用分组求和，结合等比与等差数列的求和公式即可求解

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，则

a1q=2 2a1q2+a1q3=a1q4

…（2分）
整理得q²-q-2=0，即q=-1或q=2，
∵a_n＞0，
∴q=2．代入可得a₁=1
∴an=2n-1．…（6分）
（Ⅱ）∵b_n=（-1）ⁿ3a_n+2n+1=-3•（-2）^n-1+2n+1，…（9分）
∴T_n=-3[1-2+4-8+…+（-2）^n-1]+（3+5+…+2n+1）
=-3×

1-(-2)n

1+2

+n2+2n=（-2）ⁿ+n²++2n-1．…（12分）

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，分组求和方法的应用，属于数列知识的简单综合