Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，且a_n=2a_n-1+1（n≥2），则a₅为（ ）
A．7
B．15
C．30
D．31

Answer 1

【答案】分析：（法一）利用已递推关系把n=1，n=2，n=3，n=4，n=5分别代入进行求解即可求解
（法二）利用迭代可得a₅=2a₄+1=2（a₃+1）+1=…进行求解
（法三）构造可得a_n+1=2（a_n-1+1），从而可得数列{a_n+1}是以2为首项，以2为等比数列，可先求a_n+1，进而可求a_n，把n=5代入可求
解答：解：（法一）∵a_n=2a_n-1+1，a₁=1
a₂=2a₁+1=3
a₃=2a₂+1=7
a₄=2a₃+1=15
a₅=2a₄+1=31
（法二）∵a_n=2a_n-1+1
∴a₅=2a₄+1=4a₃+3=8a₂+7=16a₁+15=31
（法三）∴a_n+1=2（a_n-1+1）
∵a₁+1=2
∴{a_n+1}是以2为首项，以2为等比数列
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ-1
∴a₅=2⁵-1=31
故选：D
点评：本题主要考查了利用数列的递推关系求解数列的项，注意本题解法中的一些常见的数列的通项的求解：迭代的方法即构造等比（等差）数列的方法求解，尤其注意解法三中的构造等比数列的方法的应用