Question

下列函数中最小值为4的是（　　）

• A．y=x+

  4

  x

• B．y=

  2(x2+3)

  x2+2

• C．y=e^x+4e^-x
• D．y=sinx+

  4

  sinx

  ，（0＜x＜π）

Answer 1

分析：A．当x＜0时，利用基本不等式的性质，y=-(-x+

4

-x

)≤-4，可知无最小值；
B．变形为y=2(

x2+2

+

1

x2+2

)，利用基本不等式的性质可知：最小值大于4；
C．利用基本不等式的性质即可判断出满足条件；
D．利用基本不等式的性质可知：最小值大于4．

解答：解：A．当x＜0时，y=-(-x+

4

-x

)≤-2

(-x)× 4 -x

=-4，当且仅当x=-2时取等号．因此此时A无最小值；
B.y=

2(x2+2+1)

x2+2

=2(

x2+2

+

1

x2+2

)≥2×2

x2+2 × 1 x2+2

=4，当且仅当x²+2=1时取等号，但是此时x的值不存在，故不能取等号，即y＞4，因此B的最小值不是4；
C.y=ex+

4

ex

≥2

ex× 4 ex

=4，当且仅当ex=

4

ex

，解得e^x=2，即x=ln4时取等号，即y的最小值为4，因此C满足条件；
D．当0＜x＜π时，sinx＞0，∴y=sinx+

4

sinx

≥2

sinx• 4 sinx

=4，当且仅当sinx=

4

sinx

，即sinx=2时取等号，但是sinx不可能取等号，故y＞4，因此不满足条件．
综上可知：只有C满足条件．
故选C．

点评：熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键，特别注意“=”是否取到．