Question

【题目】设数列是公差大于的等差数列， 为数列的前项和．已知，且构成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，设是数列的前项和，证明： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）（1）利用等差数列前n项和、通项公式和等比数列，列出方程组，求出首项与公差，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）推导出bn=＝(2n－1) ，利用错位相减法求出数列{bn}的前n项和，由此能证明Tn<6．

试题解析：

(1)设数列{an}的公差为d，则d>0.

因为S3＝9，所以a1＋a2＋a3＝3a2＝9，即a2＝3.

因为2a1，a3－1，a4＋1构成等比数列，

所以(2＋d)2＝2(3－d)(4＋2d)，

所以d＝2.所以an＝a2＋(n－2)d＝2n－1.

(2)证明：因为＝2n－1(n∈N*)，所以bn＝＝(2n－1) ，

所以Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－1)×，①

所以Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×，②

由①②两式相减得Tn＝1＋2×＋2×＋…＋2×－(2n－1)×＝1＋－＝3－－，整理化简得Tn＝6－.又因为n∈N*，所以Tn＝6－<6.

点睛:用错位相减法求和应注意的问题:(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.