Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，E、F分别是BC、PC的中点，PA=AB=2．
（1）求证：AE⊥PD；
（2）求三棱锥A-EFC的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意，在△ABE中，由AB=2，BE=1，∠ABC=60°，可证得AE⊥BC，从而得AE⊥AD，于是由线面垂直的判断定理可证得AE⊥平面PAD，继而可得AE⊥PD；
（2）可取AC的中点O，连接FO，由V_A-EFC=V_F-AEC即可求得答案．
解答：证明：（1）依题意，在等腰△ABC中，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，又E是BC的中点，
∴AE⊥BC，又BC∥AD，
∴AE⊥AD；
∵PA⊥底面ABCD，AE?底面ABCD，
∴AE⊥PA；
PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD，PD?平面PAD，
∴AE⊥PD；
（2）连接BD与AC相交于O，连接FO，则O为AC的中点，又F是PC的中点，
∴FOPA=1，由PA⊥底面ABCD知，FO⊥底面ABCD；
又AE=2sin60°=，EC=1，
∴V_A-EFC=V_F-AEC
=××AE×EC×FO
=××1×1
=．
点评：本题考查直线与平面垂直判断与性质，考查棱锥的体积，考查推理与运算能力，属于中档题．