Question

设G，Q分别为△ABC的重心和外心，A（0，-1），B（0，1），且GQ∥AB．
（I）求点C的轨迹E的方程；
（II）若l₀是过点P（1，0）且垂直于x轴的直线，是否存在直线l，使得l与曲线E交于两个不同的点M，N，且MN恰被l₀平分？若存在，求出l的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）设C（x，y），由重心坐标公式的到G的坐标，再由GQ∥AB及Q在x轴上得到Q的坐标，又由|QB|=|QC建立方程．
（II）假设存在直线l：y=kx+m，代入迹E的方程，利用判别式大于0，及交点的中点横坐标为1，解出斜率的范围．

解答：解：（I）设C（x，y），则G(

x

3

，

y

3

)，因为GQ∥AB，可得Q(

x

3

，0)；又由|QB|=|QC|，
可得点C的轨迹E的方程为

x2

3

+y2=1(x≠0)．（6分）（没有x≠0扣1分）
（II）假设存在直线l：y=kx+m，代入

x2

3

+y2=1
并整理得（1+3k²）x²+6mkx+3（m²-1）=0，（8分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则

x1+x2

2

=

-3mk

1+3k2

=1（*）（10分）
又△=36m²k²-12（1+3k²）（m²-1）
=4(1+3k2)[(1+3k2)-

(1+3k2)2

3k2

+3]=4(1+3k2)

6k2-1

3k2

＞0，
解得k＞

6

6

或k＜-

6

6

（13分）
特别地，若m=±1，代入（*）得，3k²±3k+1=0，此方程无解，即x≠0．
综上，l的斜率的取值范围是k＞

6

6

或k＜-

6

6

．（14分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，直线和圆锥曲线的位置关系．