Question

设A（-2，0），B（2，0），M为平面上任一点，若|MA|+|MB|为定值，且cosAMB的最小值为-．
（1）求M点轨迹C的方程；
（2）过点N（3，0）的直线l与轨迹C及单位圆x²+y²=1自右向左依次交于点P、Q、R、S，若|PQ|=|RS|，则这样的直线l共有几条？请证明你的结论．

Answer 1

解：（1）设M（x，y），
∵在△AMB中，AB=4，|MA|+|MB|是定值；
可设|MA|+|MB|=2a（a＞0）．
∴cosAMB═
=-1．（3分）
而|MA|+|MB|≥2，
∴|MA|•|MB|≤a²．
∴-1≥-1
．∵cosAMB最小值为-，
∴-1=-．∴a=．（6分）
∴|MA|+|MB|=2＞|AB|．
∴M点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且a=，c=2．
∴b²=a²-c²=2．∴曲线C的方程是=1．（8分）
（2）设直线l的方程是y=k（x-3）．
1°当k=0时，显然有|PQ|=|RS|；此时l的方程是y=0．
2°当k≠0时，∵|PQ|=|RS|，∴PS与RQ的中点重合，设中点为G，则OG⊥PS．
由，
得（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0．（11分）
设P（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
则x₁+x₂=，y₁+y₂=k（x₁-3）+k（x₂-3）=．
∴G（，）．
∴×k=-1无解，此时l不存在，
综上，存在一条直线l：y=0满足条件．（16分）
分析：（1）设M（x，y），设|MA|+|MB|=2a（a＞0）．由题设条件知cosAMB═=-1≥-1=-，解得a=．由此可知曲线C的方程是=1．
（2）设直线l的方程是y=k（x-3）．当k=0时，l的方程是y=0．当k≠0时，由，得（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0．设P（x₁，y₁），S（x₂，y₂），由根与第数的关系可知此时l不存在，综上，存在一条直线l：y=0满足条件．
点评：本题考查圆锥曲线知识的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．