Question

四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=2，PA=PD，PA⊥PD，PB=PC．
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线PB与平面PAD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AD中点M，BC中点N，连接MN、PN、PM，先证明BC⊥平面PMN，可得BC⊥PM，同理可得PM⊥AD，利用线面垂直的判定，可得PM⊥平面ABCD，根据面面垂直的判定，可得平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅱ）连接BD，证明BD⊥平面PAD，则∠BPD为直线PB与平面PAD所成角，从而可求直线PB与平面PAD所成角的正切值．

解答：（Ⅰ）证明：取AD中点M，BC中点N，连接MN、PN、PM，

则MN是直角梯形ABCD的中位线，∴MN∥AB∥CD，
∵BC⊥AB，∴MN⊥BC，
∵PB=PC，∴△PBC是等腰△，∴PN⊥BC，
∵PN∩NB=N，∴BC⊥平面PMN，
∵PM?平面PMN，∴BC⊥PM，
同理PA=PD，∴PM⊥AD，
∵四边形ABCD是梯形，∴在平面ABCD上，AD和BC不平行必相交于一点F，
∴PM⊥平面ABCD，
∵PM?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅱ）连接BD，则在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=2，则BD⊥AD，BD=AD=

2

，
∵BD⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD
∴BD⊥平面PAD
∴∠BPD为直线PB与平面PAD所成角
∵PA=PD，PA⊥PD
∴PB=1
∴tan∠BPD=

BD

PD

=

2

．

点评：本题考查线面垂直、面面垂直、考查线面角，掌握线面垂直、面面垂直的判定方法，正确作出线面角是关键．