Question

如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设．

（1）试用表示的面积；
（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小．

Answer 1

(1)；(2)时面积的最大值为．

解析试题分析：(1)要求的面积，关键是求出两直角边长，因此我们要把这两直角边与正方形的边长联系起来，由已知，，从而直的三边长之和为正方形的边长4，所以的边长可以用表示，也就求出了它的面积；(2)由(1)，要求这个式子的最大值，我们要用换元法变形，这里我们设，则，于是就变为的代数函数，不能忘记的是的范围是，时取最大值．
试题解析：（1）设为,∴，
，                       3分
,，    7分
（2）令，                    9分
只需考虑取到最大值的情况，即为，   11分
当, 即时, 达到最大                         13分
此时八角形所覆盖面积的最大值为 ．                    14分
考点：(1)方程与三角形面积；(2)换元法与三角函数的最大值．