Question

设S_n是数列{a_n} 的前n项和，若

S2n

Sn

(n∈N*)是非零常数，则称数列{a_n} 为“和等比数列”．
（1）若数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，则数列 {b_n}

 

（填“是”或“不是”）“和等比数列”；
（2）若数列{c_n}是首项为c₁，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列 {c_n} 是“和等比数列”，则d与c₁之间满足的关系为

 

．

Answer 1

分析：（1）根据数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，我们易求出数列 {b_n}的通项公式，求出S_n后，代入验证即可得到结论．
（2）根据数列{c_n}是首项为c₁，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列 {c_n} 是“和等比数列”，我们列出关于d与c₁的方程，即可得到d与c₁之间满足的关系．

解答：解：（1）数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，
则数列 {b_n}是一个首项为1，公差为2的等差数列，则S_n=n²，则

S2n

Sn

=4，
故数列 {b_n}是“和等比数列”；
（2）若数列{c_n}是首项为c₁，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列 {c_n} 是“和等比数列”，
则S_n=

d

2

•n²+（

d

2

+c₁）•n，S_2n=4•

d

2

•n²+2•（

d

2

+c₁）•n，
若

S2n

Sn

(n∈N*)是非零常数，则d=2c₁
故答案为：（1）是，（2）d=2c₁

点评：本题考查的知识点是和等比关系的确定和性质，解答的关键是正确理解“和等比数列”的定义，并能根据定义构造出满足条件的方程．