Question

【题目】如图1，四边形为直角梯形，，，，，为上一点，为的中点，且，，现将梯形沿折叠(如图2)，使平面平面.

（1）求证：平面平面.

（2）能否在边上找到一点(端点除外)使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.（2）存在点，为线段中点

【解析】

（1）根据线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可证得平面平面；

（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.

（1）在直角梯形中，作于于，连接，

则，，则，，

则，

在直角中，可得，

则，

所以，

故，且折叠后与位置关系不变.

又因为平面平面，且平面平面，

所以平面，

因为平面，所以平面平面.

（2）在中，由，为的中点，可得.

又因为平面平面，且平面平面，

所以平面，则以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

则，，

设平面的法向量为，则 ，

令，可得平面的法向量为，

假设存在点使平面与平面所成角的余弦值为，且()，

∵，∴，故，

又，∴，

又由，

设平面的法向量为，可得，

令得，

∴，解得，

因此存在点且为线段中点时使平面与平面所成角的余弦值为.