Question

【题目】已知点，直线，且点不在直线上.

（1）若点关于直线的对称点为，求点坐标；

（2）求证：点到直线的距离；

（3）当点在函数图像上时，（2）中的公式变为，

请参考该公式，求 的最小值.

Answer 1

【答案】（1） ； （2）见解析； （3）.

【解析】

（1）把握住点关于直线的对称点的关键条件是垂直与平分，列出方程组求得结果；

（2）可以利用过点作直线的垂线，求两直线的交点即垂足，再用两点间距离公式求得结果，也可以用直角三角形斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边长，求得结果；

（3）设出变量，利用式子，将问题转化为曲线上的点到直线的距离的最小值问题，结合图形，求得结果.

（1）因为点P，Q关于直线对称，

所以

解得所以．

（2）证法一：设，根据定义，点P到直线的距离是点

P到直线的垂线段的长，如右图，设点P到直线的垂线为，

垂足为Q，由可知的斜率为，

所以的方程：．

与联立方程组解得交点，

所以

所以．

可证明，当时仍成立．

综上．

证法二：设，这时与轴、轴都相交，

过点P作轴的垂线，交于点；过点P作轴的垂线，交于点，

由得 ，

所以，＝＝ ，＝＝ ，

＝×．

由三角形面积公式可知：·＝·，

所以．

可证明，当或时仍成立．

综上．

（3）令，

，

则表示函数图象上的点到直线的距离，

表示函数图象上的点到直线的距离，

所以最小值为 ．