Question

【题目】如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1.

(1)若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；

(2)求三棱锥P－ABC体积的最大值；

(3)若，点E在线段PB上，求CE＋OE的最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）证明AC⊥DO，PO⊥AC，再证明AC⊥平面PDO；（2）当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1，再求三棱锥P－ABC体积的最大值；（3）先证明PB＝PC＝BC，在三棱锥P－ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，当O，E，C′共线时，CE＋OE取得最小值．再求其最小值.

(1)证明：在△AOC中，因为OA＝OC，D为AC的中点，所以AC⊥DO.

又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO⊥AC.

因为DO∩PO＝O，所以AC⊥平面PDO.

(2)解：因为点C在圆O上，所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1.

又AB＝2，所以△ABC面积的最大值为.

又因为三棱锥P－ABC的高PO＝1，

故三棱锥P－ABC体积的最大值为.

(3)解：

在△POB中，PO＝OB＝1，∠POB＝90°，

所以.

同理，所以PB＝PC＝BC.

在三棱锥P－ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示．

当O，E，C′共线时，CE＋OE取得最小值．

又因为OP＝OB，，所以垂直平分PB，即E为PB的中点．

从而，

即CE＋OE的最小值为.