Question

如图所示，在xOy平面内，一质量为m、电荷量为+q的粒子（重力不计）以速度v₀从坐标原点O沿与+x方向成θ角射入第一象限区，并从x轴上x₁=a的A点离开第一象限区，速度方向与+x方向也成θ角．
（1）若在xOy平面存在一电场，带点粒子在电场力作用下沿圆弧匀速率从O点运动到A点，θ=30°，求O点电场强度的大小E和粒子从O点运动到A点的时间t．
（2）若只存在一垂直于xOy平面的圆形匀强磁场区，磁场的磁感应强度B是可以调节的，且满足0≤B≤B_m，θ=30°，求圆形磁场区的最小半径r₀．
（3）若只有第一象限内存在一垂直于xOy平面的圆形匀强磁场区，且θ=45°，求磁场的磁感应强度的最小值B₀．

Answer 1

分析：（1）根据几何关系可知带电粒子运动的轨迹的长度，再根据粒子匀速运动可以求得粒子的运动的时间的大小；
（2）根据几何关系可知带电粒子在磁场中的半径，由洛伦兹力作为向心力可以求得粒子的运动的半径的大小；
（3）磁场磁感应强度越小，粒子回旋半径越大，则磁场区半径越大，当磁场区圆边界与xy轴相切，磁场磁感应强度最小．

解答：解：（1）有几何关系可知，带电粒子运动的半径r₁=x₁=a，
粒子在电场中偏转2θ=

π

3

，
由牛顿第二定律和运动学公式有，
qE=m

v 2 0

r1

t=

2θr

v0

解得 E=

mv 2 0

aq

t=

πa

3v0

（2）如图所示，设圆周运动的最小半径为r₂，则
qv₀B_m=m

v 2 0

r2

r₀=

r2

2

解得 r₀=

mv0

2qBm

（3）如图所示，圆形磁场区只限于第一象限内，磁场磁感应强度越小，粒子回旋半径越大，则磁场区半径越大．
当磁场区圆边界与xy轴相切，磁场磁感应强度最小，
设对应的运动半径为r₃，则
r₃=

a

2

qv₀B₀=m

v 2 0

r3

解得 B₀=

2mv0

aq

点评：本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，要掌握住半径公式、周期公式，画出粒子的运动轨迹后，几何关系就比较明显了．