Question

（2012?眉山模拟）已知地球和冥王星半径分别为r₁、r₂，公转半径分别为r₁′、r₂′，公转线速度分别为v₁′、v₂′，表面重力加速度分别为g₁、g₂，平均密度分别为ρ₁、ρ₂，地球第一宇宙速度为v₁，飞船贴近冥王星表面环绕线速度为v₂，则下列关系正确的是（　　）

• A．

  v1′

  v2′

  =

  r2′ r1′

• B．

  v1

  v2

  =

  r2 r1

• C．g₁r₁²=g₂r₂²
• D．ρ₁r₁²v₂²=ρ₂r₂²v₁²

Answer 1

分析：根据万有引力提供向心力

GMm

r2

=m

v2

r

去求公转的线速度之比，以及第一宇宙速度之比．
根据万有引力等于重力求星球表面重力加速度之比．

解答：解：A、根据万有引力提供向心力：

GMm

r2

=m

v2

r

v=

GM r

地球和天王星的公转半径之比为r₁′：r₂′，所以公转速度之比

v1′

v2′

=

r2′ r1′

故A正确；
B、根据万有引力提供向心力：

GMm

r2

=m

v2

r

，v=

GM r

由于不知道地球和天王星的质量比，所以无法求出

v1

v2

，故B错误．
C、重力加速度g=

GM日

r′2

（其中r′为公转半径），可得gr′²=GM_日为定值，故g₁r₁′²=g₂r₂′²，故C错误．
D、根据星体密度公式ρ=

3π

GT2

=

3v2

4Gπr2

（其中T为星球表面卫星运行的周期，r为星球半径），故

ρr2

v2

为定值，故ρ₁r₁²v₂²=ρ₂r₂²v₁²，故D正确．
故选AD．

点评：解决本题的关键搞清楚公转、第一宇宙速度等问题中，谁是中心天体，谁是环绕天体，然后根据万有引力提供向心力，万有引力等于重力进行求解．