Question

2006年都灵冬奥会上，我国选手以总分250.77的成绩创造中国自由式滑雪的里程碑，实现了我国冬奥史上金牌两个“零的突破”（男子项目金牌零的突破和雪上项目金牌零的突破），创造了我国冬奥会历史上的奇迹．自由式滑雪的运动模型可简化如下：如图所示，斜面轨道AB与水平面之间的夹角θ=53°，BD为半径R=4m的圆弧形轨道，且B点与D点在同一水平面上，在B点，轨道AB与圆弧形轨道BD相切，整个轨道处于竖直平面内且处处光滑，在A点处的一质量m=1kg的小球由静止滑下，经过B、C点后从D点斜抛出去，最后落在地面上的S点处时的速度大小v_s=8m/s，已知A点距地面的高度H=10m，B点距地面的高度h=5m，设以MDN为分界线，假设其左边为存在空气阻力的区域，右边为不考虑空气阻力的真空区域，g取10m/s²，cos53°=0.6
（1）小球经过B点的速度为多大？
（2）小球经过圆弧轨道最低处C点时对轨道的压力多大？
（3）小球从D点抛出后，在MDN分界线左边的区域受到的阻力f与其瞬时速度方向始终相反，求小球从D点至S点的过程中，阻力f所做的功．

Answer 1

（1）从A到B过程中，由动能定理得：
mg（H-h）=

1

2

mv_B²-0，
解得：v_B=

2(H-h)g

=10m/s；
（2）由数学知识可知，OB与OC间的夹角是53°，
h_BC=R-Rcos53°=1.6m，
由A到C过程中，由动能定理可得：
mg（H-h）+mgh_BC=

1

2

mv_C²-0，
小球做圆周运动，由牛顿第二定律得：
F-mg=

m v 2C

R

，解得：F=43N；
由牛顿第三定律得，小球对轨道的压力F′=F=43N；
（3）B点与D点在同一水平面上，v_D=v_B=10m/s，
从D到S过程中，阻力做负功，由动能定理可得：
mgh-W_f=

1

2

mv_S²-

1

2

mv_D²，解得：W_f=68J；
答：（1）小球经过B点的速度为10m/s．
（2）小球经过圆弧轨道最低处C点时对轨道的压力为43N．
（3）阻力f所做的功为-68J．