Question

两根长直轨道与一半径为R的半圆型圆弧轨道相接于A、C两点，B点为轨道最低点，O为圆心，轨道各处光滑且固定在竖直平面内．质量均为m的两小环P、Q用长为

2

R的轻杆连接在一起，套在轨道上．将MN两环从距离地面2R处由静止释放，整个过程中轻杆和轨道始终不接触，重力加速度为g，求：
（1）当P环运动到A点时的速度v；
（2）当P环运动到B点时，系统减少的重力势能△E_P；
（3）在运动过程中，P环和Q环能达到的最大动能之和．

Answer 1

分析：（1）轻杆下滑过程，系统的机械能守恒，确定出两环下降的高度，即可由求得P环运动到A点时的速度v；
（2）根据系统的机械能守恒求解P环运动到B点时，系统减少的重力势能△E_P；
（3）当系统质心下降到最低处时，系统达到的速度最大，此时PQ离O点竖直高度为

2

2

，根据重心下降的高度和系统的机械能守恒列式求解．

解答：解：（1）根据两环组成的系统机械能守恒得：
  2mgR=

1

2

×2m

v

2

解得，v=

2gR

（2）当P环运动到B点时，系统减少的重力势能△E_P=mg?2R+mg（R+

2

R）=（3+

2

）mgR．
 （3）当系统质心下降到最低处时，系统达到的速度最大，P、Q动能之和最大，此时MN离O点竖直高度为

2

2

R
则根据系统的机械能守恒得：
有mg（1+

2

2

）R+mg（

2

+1+

2

2

）R=E_k；
得到 P环和Q环能达到的最大动能之和为：E_k=2（

2

+1）mgR．
答：
（1）当P环运动到A点时的速度v是

2gR

；
（2）当P环运动到B点时，系统减少的重力势能△E_P是（3+

2

）mgR．
（3）在运动过程中，P环和Q环能达到的最大动能之和为2（

2

+1）mgR．

点评：本题关键是根据几何关系多次得到环的具体位置，然后根据机械能守恒定律列方程求解即可．