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    两根长直轨道与一半径为R的半圆型圆弧轨道相接于A、C两点，B点为轨道最低点，O为圆心，轨道各处光滑且固定在竖直平面内．质量均为m的两小环P、Q用长为R的轻杆连接在一起，套在轨道上．将MN两环从距离地面2R处由静止释放，整个过程中轻杆和轨道始终不接触，重力加速度为g，求：
    （1）当P环运动到B点时，系统减少的重力势能△EP；
    （2）当P环运动到B点时的速度v；
    （3）在运动过程中，P环能达到的最大速度vm；
    （4）若将杆换成长，P环仍从原处由静止释放，经过半圆型底部再次上升后，P环能达到的最大高度H．

    【答案】分析：（1）轻杆下滑过程，系统的机械能守恒，确定出两环下降的高度，即可由求得△EP；
    （2）P、Q都进入圆轨道后，两环具有相同角速度，两环速度大小一定相等，根据系统的机械能守恒列式求解最大速度．
    （3）当系统质心下降到最低处时，系统达到的速度最大，此时MN离O点竖直高度为，再由机械能守恒求解．
    （4）由于杆长超过了半圆直径，故A环一直在下方，速度为零时，结合几何关系并根据机械能守恒定律列方程求解即可求解出高度．
    解答：解：（1）当P环运动到B点时，系统减少的重力势能
    （2）P、Q都进入圆轨道后，两环具有相同角速度，则两环速度大小一定相等
    整体的机械能守恒，则有：△EP=△EK
    则得 
    得到
    （3）当系统质心下降到最低处时，系统达到的速度最大，此时MN离O点竖直高度为
    则有 
    得到
    （4）由于杆超过了半圆直径，所以两环运动如图．

    M再次上升后，设位置比原来高h，如图所示．
    由机械能守恒：-mgh+mg（2R-2R-h）=0 
    解得，
    P环能达到的最大高度
    答：
    （1）当P环运动到B点时，系统减少的重力势能△EP是（3+）mgR．
    （2）当P环运动到B点时的速度v是．
    （3）在运动过程中，P环能达到的最大速度vm是．
    （4）若将杆换成长，P环仍从原处由静止释放，经过半圆型底部再次上升后，P环能达到的最大高度H是（+1）R．
    点评：本题关键是根据几何关系多次得到环的具体位置，然后根据机械能守恒定律列方程求解即可．
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    		2
    R的轻杆连接在一起，套在轨道上．将MN两环从距离地面2R处由静止释放，整个过程中轻杆和轨道始终不接触，重力加速度为g，求：
    （1）当P环运动到B点时，系统减少的重力势能△EP；
    （2）当P环运动到B点时的速度v；
    （3）在运动过程中，P环能达到的最大速度vm；
    （4）若将杆换成长2
    		2
    R    ，P环仍从原处由静止释放，经过半圆型底部再次上升后，P环能达到的最大高度H．

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    		2
    R的轻杆连接在一起，套在轨道上．将MN两环从距离地面2R处由静止释放，整个过程中轻杆和轨道始终不接触，重力加速度为g，求：
    （1）当P环运动到A点时的速度v；
    （2）当P环运动到B点时，系统减少的重力势能△EP；
    （3）在运动过程中，P环和Q环能达到的最大动能之和．

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    （1）当P环运动到B点时，系统减少的重力势能△EP；

    （2）当P环运动到B点时的速度v；

    （3）在运动过程中，P环能达到的最大速度vm；

    （4）若将杆换成长，P环仍从原处由静止释放，经过半圆型底部再次上升后，P环能达到的最大高度H。

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    （1）当P环运动到B点时，系统减少的重力势能△EP；
    （2）当P环运动到B点时的速度v；
    （3）在运动过程中，P环能达到的最大速度vm；
    （4）若将杆换成长，P环仍从原处由静止释放，经过半圆型底部再次上升后，P环能达到的最大高度H。

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