Question

如图所示，竖直平面内有一半径为r、内阻为R₁、粗细均匀的光滑半圆形金属环球，在M、N处与相距为2r、电阻不计的平行光滑金属轨道ME、NF相接，EF之间接有电阻R₂，已知R₁=12R，R₂=4R．在MN上方及CD下方有水平方向的匀强磁场I和II，磁感应强度大小均为B．现有质量为m、电阻不计的导体棒ab，从半圆环的最高点A处由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平，与半圆形金属环及轨道接触良好，且平行轨道足够长．已知导体棒ab下落r/2时的速度大小为v₁，下落到MN处的速度大小为v₂．
（1）求导体棒ab下落到

r

2

时的加速度大小．
（2）若导体棒ab进入磁场Ⅱ后棒中电流大小始终不变，求磁场I和Ⅱ之间的距离h和R₂上的电功率P₂．

Answer 1

分析：导体棒在重力作用下切割磁感线，从而产生感应电动势，闭合电路出现感应电流，导致棒受到安培力．由速度可求出此时的安培力大小，再由牛顿第二定律可算出加速度．当电流大小不变时，则此时棒做匀速直线运动，所以由受力平衡可算出棒的速度，再根据运动学公式可求出距离h．而R₂上的电功率与R₁上的电功率之和正好等于棒下落过程中的重力功率．

解答：解：（1）以导体棒为研究对象，棒在磁场I中切割磁感线，棒中产生产生感应电动势，导体棒ab从A下落

r

2

时，导体棒在重力与安培力作用下做加速运动，由牛顿第二定律，得
mg-BIL=ma，式中l═

3

r  I=

BLv1

R总

式中 R_总=

8R×(4R+4R)

8R+(4R+4R)

=4R
 
由以上各式可得：a=g-

3B2r2v1

4mR

 
 
（2）当导体棒ab通过磁场II时，若安培力恰好等于重力，棒中电流大小始终不变，即
 mg=BI2r=

4B2r2vt

R并

  式中　R并=

12R×4R

12R+4R

=3R
 
解得：vt=

mgR并

4B2r2

=

3mgR

4B2r2

 
导体棒从MN到CD做加速度为g的匀加速直线运动，有
             

v

2 t

-v

2 2

=2gh
 得　h=

9m2gr2

32B4r4

-

v 2 2

2g

 此时导体棒重力的功率为
 PG=mgvt=

3m2g2R

4B2r2

 根据能量守恒定律，此时导体棒重力的功率全部转化为电路中的电功率，即
 P_电=P₁+P₂=P_G
 所以P2=

3

4

PG=

9m2g2R

16B2r2

点评：导体棒在磁场中切割磁感线产生电动势，电路中出现电流，从而有安培力．由于安培力是与速度有关系的力，因此会导致加速度在改变．所以当安培力不变时，则一定处于平衡状态．