Question

如图所示，在xOy平面内的第Ⅲ象限中有沿-y方向的匀强电场，场强大小为E．在第I和第II象限有匀强磁场，方向垂直于坐标平面向里．有一个质量为m，电荷量为e的电子，从y轴的P点以初速度v₀垂直于电场方向进入电场（不计电子所受重力），经电场偏转后，沿着与x轴负方向成45°角进入磁场，并能返回到原出发点P．
（1）并画出电子运动轨迹的示意图；
（2）求P点距坐标原点的距离
（3）电子从P点出发经多长时间再次返回P点．

Answer 1

分析：（1）分析电子的运动情况：电子在电场中，受到竖直向上的电场力而做类平抛运动（或匀变速曲线运动）；进入磁场做匀速圆周运动；离开磁场后到P点做匀速直线运动． 画出轨迹．
（2）电子在电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动．在M点电子的速度与x轴成45°角，则知电子经过M点的速度为v=

2

v₀．v_y=v₀．根据运动学求出

.

OP

；
（3）分三段过程研究时间：电场中、磁场中和离开磁场后做匀速直线运动的时间．磁场中根据轨迹的圆心角α，由t=

α

2π

T求时间．由几何知识得到匀速直线运动的距离，即可求出匀速运动的时间．再根据几何知识求出磁场中运动的半径，求出T，即可求得总时间．

解答：解：（1）如右图所示，电子进入电场，从P点到M点做类平抛运动，进入磁场后做匀速圆周运动，离开磁场后从N点到P点做匀速直线运动，画出轨迹如图所示．
（2）电子在电场中运动过程，有v_y=v₀=

eE

m

t
解得，t=

mv0

eE

则得 

.

OP

=

1

2

?

eE

m

t2=

m v 2 0

2eE

（3）电子在电场中运动时间为t₁=t=

mv0

eE

电子在磁场中运动时间为t₂=

3

4

T=

3

4

?

2πm

eB

=

3πm

2eB

电子从N点到P点的距离为：

.

NP

=

2

?

.

OP

电子在磁场中运动的速率为v=

2

v0
则电子从N点到P点的时间为t₃=

. DP

v

=

mv0

2eE

故总时间为t_总=t₁+t₂+t₃=

3mv0

2eE

+

3πm

2eB

又由图知，OM=v₀t₁=

m v 2 0

eE

，ON=

.

OP

=

m v 2 0

2eE

而MN=OM+ON=

2

R，
联立上两式得，电子在磁场中运动的轨迹半径R=

3m v 2 0

2 2 eE

又evB=m

v2

R

解得，B=

4E

3v0

所以t_总=

3mv0

2eE

+

3πm

2eB

=（4+3π）

3mv0

8eE

答：
（1）画出电子运动轨迹的示意图如图所示；
（2）P点距坐标原点的距离为

m v 2 0

2eE

．
（3）电子从P点出发经（4+3π）

3mv0

8eE

的时间再次返回P点．

点评：熟悉类平抛运动的处理方式，把平抛运动分解成相互垂直方向的匀速直线运动和初速度为0的匀加速直线运动，通过分运动的处理得到合运动的性质．画出轨迹，运用几何知识求出磁场中运动的半径，即可求出时间．