Question

如图所示，A、B两平行板水平放置，板长L=0.2m，板间有方向竖直向下的匀强电场，场强E=2×10³V/m，两板间距d=

3

10

m．紧贴着上极板，沿水平方向射入初速度为v₀的带正电微粒，微粒的比荷

q

m

=1×10⁶C/kg，v₀的大小可以取任意值．紧靠着极板左侧的虚线MN为磁场的边界线（M点紧靠A板最左端），MN左侧有范围足够大的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向内，磁感应强度的大小B=0.2T．不计微粒的重力．求：
（1）带电微粒在磁场中运动的最短时间；
（2）带电微粒离开偏转电场时的最小速度；
（3）带电微粒离开磁场时距M点的最小距离．

Answer 1

分析：（1）根据带电粒子 在磁场中运动的周期公式T=

2πm

qB

以及时间与周期之间的关系公式

t

T

=

θ

2π

可得，最短时间对应于最小的圆心角．
（2）带电粒子在电场中做类平抛运动，将运动分解为水平方向和竖直方向，得出粒子射出电场时的速度的表达式，然后结合函数关系即可求得；
（3）带电微粒离开磁场时距M点的最小距离是粒子在电场中的偏转量与磁场中的偏转量的和，得出偏转的位移的表达式，然后结合函数关系即可求得．

解答：解：（1）最短时间对应于最小的圆心角，粒子在下极板边沿射出时，圆心角最小．
粒子在电场中做类平抛运动，水平方向：L=v₀t
竖直方向：d=

1

2

at2
又v_y=at
设离开电场时，速度与水平方向夹角为θ，
tanθ=

vy

v0

=

at

v0

=2?

1 2 at2

v0t

=2?

d

L

=2×

3 10

0.2

=

3

所以：θ=60°
此时粒子在磁场中运动的轨迹如图，

粒子在磁场中的偏转角为60°，粒子在磁场中运动的时间：
tm=

60°

360°

T=

1

6

T
粒子在磁场中运动的周期：T=

2πm

qB

代入数据解得：tm=

T

6

=

π

6

×10-5s
（2）设离开电场时，速度与水平方向夹角为α，如图：

水平方向：L=v₀t₁
竖直方向：y=

1

2

a

t

2 1

加速度：a=

qE

m

=

q

m

?E=1×106×2×103=2×109m/s2
又v_y1=at₁
所以：tanα=

vy1

v0

=2?

y

L

所以：y=0.1?tanα
根据匀变速直线运动的导出公式2as=v2-

v

2 0

得：vy=

2a?y

根据如图的几何关系得：v=

vy

sinα

=

0.2a?tanα

sinα

=

0.2a sinαcosα

当α=45°时，带电微粒离开偏转电场时的速度最小，代入数据解得：
v=2

2

×104m/s
（3）带电粒子离开电场时，设偏转量为y，y=0.1?tanθ
磁场中的轨道半径R=

mv

qB

=0.1×

1 sinθcosθ

离M点的距离Y=0.1?tanθ+2Rcosθ=0.1?tanθ+0.2×

1 tanθ

求极值，当tanα=1时，Y有极小值，Y=0.3m
答：（1）带电微粒在磁场中运动的最短时间为

π

6

×10-5s；（2）带电微粒离开偏转电场时的最小速度为2

2

×104m/s；（3）带电微粒离开磁场时距M点的最小距离为0.3m．

点评：该题的第一问是常规的题目，做出运动的轨迹图，即可得出正确的结果；第二问和第三问是题目的难点，要先根据带电粒子在电场中和在磁场中运动的规律，推导出相应的表达式，然后根据三角函数中的极限条件才能得出正确的结论．