Question

如图所示，竖直平面内有足够长、不计电阻的两组平行光滑金属导轨，宽度均为L=0.5m，上方连接一个阻值R=1Ω的定值电阻，虚线下方的区域内存在垂直纸面向里的磁感应强度B=2T的匀强磁场。完全相同的两根金属杆1和2靠在导轨上，金属杆长与导轨等宽且与导轨接触良好，电阻均为r =0.5Ω。将金属杆1固定在磁场的上边缘（仍在此磁场内），金属杆2从磁场边界上方h₀=0.8m处由静止释放，进入磁场后恰作匀速运动。（g取10m/s²）求：

（1）金属杆的质量m；

（2）若金属杆2从磁场边界上方h₁=0.2m处由静止释放，进入磁场下落一段距离后做匀速运动。在金属杆2加速的过程中整个回路产生了1.4J的电热。求此过程中流过电阻R的电荷量q；

（3）若金属杆2仍然从磁场边界上方h₁=0.2m处由静止释放，在金属杆2进入磁场的同时释放金属杆1，试求两根金属杆各自的最大速度。

Answer 1

（1）金属杆2进入磁场前做自由落体运动，进入磁场的速度

v_m==m/s=4m/s         ……………………（1分）                       

金属杆2进入磁场后切割磁感线，回路中产生感应电流，有

感应电动势E=BLv_m，感应电流        ……………（1分）                 

金属杆恰做匀速运动，受安培力和重力平衡：mg=BIL　　　……………（1分）

解出m===0.2kg                        （2分）

（2）金属杆2自由下落h₁，进入磁场，做加速运动，设金属杆2在磁场内下降h₂后达到匀速运动，在加速的过程中，部分机械能转化为电能产生电热，有

mg(h₁+h₂)=+Q             ……………（1分）                             

可得         h₂=₁=1.3m               ……………（1分）                    

金属杆2进入磁场到匀速运动的过程中

，　　　……………（2分）

解出流过电阻的电量　　q== C =0.65C     （2分）

（3）金属杆2刚进入磁场时的速度v==m/s=2m/s  ……（1分）

金属杆2进入磁场同时释放金属杆1后，回路中有感应电流，两杆都受安培力和重力，且受力情况相同，都向下做加速运动，随速度增大，感应电流增大，安培力增大，直到安培力和重力相等时，速度达到最大。

金属杆1和2产生的感应电动势为E₁=BLv₁，E₂=BLv₂ 

感应电流为：                      ……………（1分）     

达到最大速度时杆的重力等于安培力mg=BIL

整理得到：v₁+ v₂=     ……………（1分）

代入数据得v₁+ v₂=4 m/s……………… ①       ……………（1分）

因为两个金属杆任何时刻受力情况相同，因此任何时刻两者的加速度也都相同，在相同时间内速度的增量也必相同，即：v₁－0 =v₂－ v       

代入数据得v₂= v₁+2………  ②   ……………（2分）

（画出v-t图，找到两者速度差值(v₂-v₁)恒为2m/s的，同样给分）

① ②两式联立求出：v₁=1m/s，v₂=3m/s       （1分）