Question

如图所示，两根足够长且平行的光滑金属导轨与水平面成53⁰角放置，导轨间接一阻值为3Ω的电阻R，导轨电阻忽略不计．在两平行虚线L₁、L₂间有一与导轨所在平面垂直、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场区域的宽度为d=0.5m．导体棒a的质量为m_a=0.2kg，电阻Ra=3Ω；导体棒b的质量为m_b=0.1kg，电阻R_b=6Ω；它们分别垂直导轨放置并始终与导轨接触良好，现从图中的M、N处同时将它们由静止开始释放，运动过程中它们都能匀速穿过磁场区域，当b刚穿出磁场时，a正好进入磁场．取重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8且不计a、b之间电流的相互作用，求：
（1）在整个过程中，a、b两导体棒分别克服安培力做的功；
（2）在a穿越磁场的过程中，a、b两导体棒上产生的焦耳热之比；
（3）M点和N点之间的距离．

Answer 1

分析：根据金属杆的受力平衡即安培力等于重力的分力解出两杆的安培力大小，克服安培力做功等于重力所做的功；根据焦耳定律解出产生的热量之比；根据运动学关系式解出两杆的间距．

解答：解：（1）对a杆：由于金属杆匀速穿过磁场，所以穿过的过程中受力平衡：
即：F_安a=m_agsin53°
克服安培力做功的大小与重力做的功大小相同
即：W_a=m_agsin53°×d=0.8J
对b杆：由于金属杆匀速穿过磁场，所以穿过的过程中受力平衡：
即：F_安b=m_bgsin53°
克服安培力做功的大小与重力做的功大小相同
即：W_b=m_bgsin53°×d=0.4J
（2）在a穿越磁场过程中，a杆是电源，b与R是外电路：I_a=I_b+I_R ①
b与R并联电压相同：I_bR_b=I_RR，解得：I_b=

IR

2

把结果代入①解得：

Ia

Ib

=3
则：

Qa

Qb

=

I 2 a Rat

I 2 b Rbt

=

9

2

（3）设b在磁场中匀速运动的速度为v_b，则b中的电流：I_b=

BLvb

R总1

电路的总电阻：R_总1=7.5Ω
由b杆受力平衡得：BI_bL=

B2L2vb

R总1

=mgsin53°  ②
同理a棒在磁场中匀速运动时总电阻：R_总2=5Ω

B2L2va

R总2

=m_agsin53°  ③
由②③两式取比值得：v_b：v_a=3：4
根据题意得：v_a=v_b+gsin53°?t
d=v_b?t
由位移速度关系式：v²=2gsin53°?x
由上式整理，M点和N点距L₁的距离：x_a=

4

3

m     x_b=

3

4

m
所以：x_MN=x_a-x_b=

7

12

m
答：（1）在整个过程中，a、b两导体棒分别克服安培力做的功为0.8J，0.4J；
（2）在a穿越磁场的过程中，a、b两导体棒上产生的焦耳热之比9：2；
（3）M点和N点之间的距离为

7

12

m．

点评：解决本题的关键根据金属杆的受力平衡，推导出v金属杆下落到磁场的速度，掌握导体切割产生的感应电动势大小，以及应用运动学关系式解决题目．