Question

如图所示，两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面内，导轨间的距离为L，导轨上横放着两根导体棒ab和cd．设两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，导轨光滑且电阻不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感强度为B．开始时ab和cd两导体棒有方向相反的水平初速，初速大小分别为v₀和2v₀，求：
（1）从开始到最终稳定回路中产生的焦耳热．
（2）当ab棒的速度大小变为

v0

4

，回路中消耗的电功率的可能值．

Answer 1

分析：由于ab、cd两导体棒切割磁感线，回路中产生感应电流．它们在安培力得作用下做减速运动，当ab减速为零时，cd棒仍在向右运动，以后cd棒继续减速，而ab棒反向加速，直到两棒达到共同速度后，回路中无感应电流，两棒以相同的速度v做匀速运动．
1、据两棒总动量守恒和能量守恒求解从开始到最终稳定回路中产生的焦耳热．
2、ab棒速度大小为

v0

4

时，方向可能向左，也可能向右，分两种情况根据动量守恒定律和法拉第电磁感应定律求解．

解答：解：（1）从开始到最终稳定的过程中，两棒总动量守恒，则有：
2mv₀-mv₀=2mv
解得：v=

v0

2

由能量守恒可得从开始到最终稳定回路中产生的焦耳热为：
Q=

1

2

m

v

2 0

+

1

2

m(2v0)2-

1

2

（2m）v²=

9

4

m

v

2 0

（2）当ab棒速度大小为

v0

4

且方向向左时，设cd棒的速度为v₁，根据动量守恒得：
2mv₀-mv₀=mv₁-m

v0

4

解得：v₁=

5v0

4

此时回路中的总电动势：E₁=BL（

v0

4

+

5v0

4

）=

3

2

BLv₀
则消耗的电功率为：P₁=

E 2 1

2R

=

9B2l2v 2 0

8R

当ab棒的速度大小是

v0

4

且方向向右时，设cd棒的速度是v₂，根据动量守恒得：
2mv₀-mv₀=mv₂+m

v0

4

解得：v₂=

3v0

4

此时回路中的总电动势：E₂=BL（

3v0

4

-

v0

4

）

1

2

BLv₀
则消耗的电功率为：P₂=

E 2 2

2R

=

B2l2v 2 0

8R

答：（1）从开始到最终稳定回路中产生的焦耳热是

9

4

m

v

2 0

．
（2）当ab棒速度大小为

v0

4

且方向向左时，回路中消耗的电功率是

9B2l2v 2 0

8R

，
当ab棒的速度大小是

v0

4

且方向向右时，消耗的电功率

B2l2v 2 0

8R

．

点评：本题综合考查了动量守恒定律、法拉第电磁感应定律、电功率公式，综合性较强，对学生能力要求较高，是一道难题．