Question

假设站在赤道某地的人，恰能在日落后4小时的时候，恰观察到一颗自己头顶上空被阳光照亮的人造地球卫星，若该卫星是在赤道所在平面内做匀速圆周运动，又已知地球的同步卫星绕地球运行的轨道半径约为地球半径的6.6倍，试估算此人造地球卫星绕地球运行的周期T为多少天？（ 结果可以带根号 ）

Answer 1

分析：作出卫星与地球之间的几何关系，根据几何关系确定卫星的轨道半径为2R．
设此卫星的运行周期为T₁，地球的运行周期为T₂，则地球同步卫星的周期也为T₂，依据常识我们可以知道T₂=24小时．
由 F向心=mω 2r=

GMm

r2

得：ω 2=

GM

r3

所以

ω 12

ω 22

=

r23

r13

=(

6.6R

2R

)3=

6．63

8

所以

ω1

ω2

=

6．63 8

，所以

T1

T2

=

2π ω 1

2π ω 2

=

ω 2

ω 1

=

8 6．63

≈

1

6

也可以根据开普勒第三定律求解，计算更简单．

解答：解：如图所示：

太阳光可认为是平行光，O是地心，人开始在A点，这时刚好日落，因为经过24小时地球转一圈，所以经过4小时，地球转了60度，即：∠AOC=60°，此时人已经到了B点，卫星在人的正上方C点，太阳光正好能照到卫星，所以根据∠AOC=60°就能确定卫星的轨道半径为：OC=2OA=2R．
设此卫星的运行周期为T₁，地球的运行周期为T₂，则地球同步卫星的周期也为T₂，依据常识我们可以知道T₂=24小时．
根据开普勒第三定律

T12

T22

=

(2R)3

(6.6R)3

=

8

6．63

所以T1=

8 6．63

T2≈

1

6

天
答：此人造地球卫星绕地球运行的周期为

1

6

天．

点评：这个题的关键就是要我们领会到“恰能在日落后4小时的时候，恰观察到一颗自己头顶上空被阳光照亮的人造地球卫星”，这句话是用来告诉我们求这颗卫星的轨道半径的，依据它的轨道半径的比值关系再求出它的周期与地球周期的比，进而解出它的周期．