Question

如图，在竖直面内的坐标系xoy中，x轴上方存在竖直向下的匀强电场，电场强度 E=12N/C，在x轴下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=2T，一带电量为q=+3×10^-4c、质量为m=3.6×10^-4kg的小球，从（1m，0.5m）处以初速度v₀沿x轴负方向抛出，刚好经坐标原点与x轴成45°，沿切线方向进入图中半径为R₁=

6

5

(2+

2

)m的光滑圆弧轨道Ⅰ，再次经 x轴沿切线方向进入半径为R₂=3(2+

2

)m，的光滑圆弧轨道Ⅱ，求：（g取10m/s²）

（1）小球抛出时的初速度；
（2）小球到达轨道Ⅰ的最低点时对轨道的压力；
（3）若小球从从第一象限某位置沿x轴负向抛出后均能通过坐标原点沿切线方向进入轨道Ⅰ，再沿轨道Ⅱ外侧到达最高点，求小球抛出的所有可能位置．

Answer 1

分析：（1）小球 在第一象限受到重力和电场力作用做类平抛运动，由牛顿第二定律和运动学公式结合求初速度；
（2）小球进入光滑圆弧轨道Ⅰ做圆周运动，经过轨道最低点时，由洛伦兹力、轨道的支持力和重力的合力提供向心力，先根据动能定理研究从抛出到最低点的过程，求出经过最低点时的速度，再由牛顿第二定律求轨道对小球的支持力，由牛顿第三定律得到小球对轨道的压力；
（3）小球达坐标原点时的速度偏向角为45°，小球抛出点的位置必在方程y=

1

2

x上．分两种情况讨论：
（Ⅰ）设小球从（x₂，y₂）处以初速度v₀₁抛出，达轨道Ⅱ最高点的速度为零；
（Ⅱ）设小球从（x₃，y₃）处以初速度v₀₂抛出，达轨道Ⅱ最高点的最大速度为v₂；
根据动能定理和类平抛运动的规律结合，求出小球抛出的所有可能位置．

解答：解：（1）由题意知：Eq=mg=3.6×10^-3N，则：a=

Eq+mg

m

=2g=20m/s2
由y1=

1

2

at2得  t=

2 5

20

s  
由x₁=v₀t  得   v0=2

5

m/s
（2）设小球到达轨道Ⅰ最底点的速度为v₁，所受支持力为F_N，洛化兹力为F_B，则：

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

=(Eq+mg)y1+mgR1(1-cos45°)
代入数据得：v₁=8m/s
在轨道Ⅰ的最低点，有 FN-FB-mg=m

v2

R1

代入数据得 F_N=1.27×10^-2N
即此时小球对轨道Ⅰ的压力为1.27×10^-2N
（3）因小球达坐标原点时的速度偏向角为45°，则小球的位移偏向角正切值为0.5，即小球抛出点的位置必在方程y=

1

2

x上．
（Ⅰ）设小球从（x₂，y₂）处以初速度v₀₁抛出，达轨道Ⅱ最高点的速度为零，则：
  0-

1

2

m

v

2 0

=(Eq+mg)[y2+R2(1-cos45°)]
代入数据并化简得：

v

2 0

=40(3-y2)
由：y2=

1

2

x2
  

1

2

a

t

2 2

=

1

2

v01t2得：20t₂=v₀₁
由上两式得：t2=

3 20

s 
           v01=2

15

（m/s）
故：x2=v01t=2

15

×

3 20

=3（m）
（Ⅱ）设小球从（x₃，y₃）处以初速度v₀₂抛出，达轨道Ⅱ最高点的最大速度为v₂，则：
 

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 02

=(Eq+mg)[y3+R2(1-cos45°)]
  Eq+mg=

m v 2 2

R2

代入数据并化简得：

v

2 02

-60(2+

2

)=40(3-y3)
得：t2=

3(4- 2 ) 40

s  
   v02=

30(4- 2 )

m/s  
则得 x02=t2v02=3(4-

2

)m
由此可知：要让小球到达轨道Ⅱ的最高点，小球抛出的位置在y=

1

2

x上，
区间为3m≤x≤3(4-

2

)m
答：
（1）小球抛出时的初速度是2

5

m；
（2）小球对轨道Ⅰ的压力为1.27×10^-2N；
（3）要让小球到达轨道Ⅱ的最高点，小球抛出的位置在y=

1

2

x上，区间为3m≤x≤3(4-

2

)m．

点评：本题是带电粒子做圆周运动与类平抛运动中，运用动能定理、牛顿第二定律与运动学公式，并结合数学知识来处理这两种运动．