Question

如图所示，x轴上方有竖直向下的匀强电场，从x轴A点（5

3

h，0）处一质量为m，电荷量为q的带正电粒子（不计粒子重力）以速度v₀垂直x轴进入一圆形磁场区域，速度方向指向圆形磁场的圆心，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场后，以v_B=

3

2

v_O的速度垂直打到y轴上B点（0，h）．
（1）求匀强电场的电场强度E和圆形磁场的磁感应强度B的大小．
（2）求带电粒子从A点运动到B点的时间．
（3）若粒子在A点可以沿任意方向垂直磁场进入，并使速度大小增为2v₀，则粒子在磁场里运动的最长时间．为多少？

Answer 1

分析：采用逆向思维：粒子在电场中只受电场力，做类平抛运动．将速度分解，可求出粒子进入圆形磁场区域时的速度大小．根据牛顿定律求出场强E的大小．粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动．分析粒子进入磁场的速度方向与进入磁场时的速度方向相同条件，根据圆的对称性，由几何知识得到半径，周期T的表达式．大而确定磁场的磁感应强度B的大小；并由运动学公式可求出从A点运动到B点的时间； 若粒子速度增大时，根据圆心角与周期来确定运动的时间长短．

解答：解：（1）沿着粒子运动反方向研究：粒子从B点射入电场，在电场中作类平抛运动，射出电场时，如图所示．
设射出粒子的速度与x轴的夹角为θ，由速度关系，则有：

vB

v0

=cosθ
而v_B=

3

2

v_O，所以解得：θ=30°
则vy=v0sin30°=

v0

2

在电场力的方向，根据

v

2 y

=2ah与a=

qE

m

，可得：E=

m v 2 0

8qh

在x轴方向，粒子的位移，x=v_Bt=

vy

a

vB=2

3

h
粒子射出电场后做匀速运动后，沿着圆形磁场的半径方向射入，经过偏转后从A点射出．
粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，则有Bqv=m

v2

R

；
设圆周运动的半径为R，根据几何关系，可得：(5

3

h-2

3

h-R)sin30°=R
解得：R=

3

h 
所以，B=

mv0

qR

=

3 mv0

3qh

（2）粒子做类平抛的运动的时间，t₁=

vy

a

=

v0 2

v 2 0 8h

=

4h

v0

；
粒子做匀速直线运动的时间为t₂，匀速运动的位移为x=

R

tan30°

=3h，所以时间t₂=

3h

v0

；
粒子做匀速圆周运动的时间为t₃，根据入射角度，可知运动轨迹对应的圆心角为120°，则有t3=

1

3

×

2πm

qB

=

2 3 πh

3v0

；
则带电粒子从A点运动到B点的时间为t=t1+t2+t3=

21+2 3 π

3v0

h；
（3）速度大小增为2v₀，则粒子在磁场中运动半径增加2倍，即为8h，而运动的周期没有变化；当对应的圆心角越大时，运动时间越长．
根据前面可知，圆形磁场的半径与粒子运动的轨道相等，即为4h，当粒子在磁场中运动对应的弦最长，则时间也最长．
最长弦为8h，而粒子运动的半径也为8h，根据几何关系可得，圆心角为60°，所以t=

T

6

=

1

6

×

2πm

Bq

=

3 πh

3v0

答：（1）求匀强电场的电场强度

m v 2 0

8qh

和圆形磁场的磁感应强度B的大小

3 mv0

3qh

．
（2）求带电粒子从A点运动到B点的时间

21+2 3 π

3v0

h．
（3）若粒子在A点可以沿任意方向垂直磁场进入，并使速度大小增为2v₀，则粒子在磁场里运动的最长时间为

3 πh

3v0

．

点评：本题带电粒子在组合场中运动，分别采用不同的方法：电场中运用运动的合成和分解，磁场中圆周运动处理的基本方法是画轨迹．采用逆向思维从而降低解题难度，这通常也是处理题目的一种方法．