Question

11．如图所示，MPQO为有界的竖直向下的匀强电场（边界上有电场），电场强度为E=$\frac{mg}{q}$，ACB为光滑固定的半圆形绝緣轨道，轨道半径为R，O点是圆心，直径AB水平，A、B为直径的两个端点，AC为$\frac{1}{4}$圆弧．一个质童为m．电荷量为-q的带负电小球，从A点正上方高为R处由静止释放，从A点沿切线进入半圆轨道，不计空气阻力．求：
（1）小球到达C点时对轨道的压力；
（2）若E′=$\frac{2mg}{q}$，小球从A点正上方离A点至少多高处静止释放，才能使小球沿轨道运动到C点．

Answer 1

分析 （1）小球进入圆轨道，电场力和重力平衡，做匀速圆周运动，根据动能定理求出进入圆轨道的速度大小，结合牛顿第二定律求出在C点所受的弹力，从而得出小球到达C点时对轨道的压力；
（2）若E′=$\frac{2mg}{q}$，电场力为2mg，抓住最低点临界状态，弹力为零，结合牛顿第二定律求出C点的速度，根据动能定理求出最小高度．

解答 解：（1）小球进入半圆轨道，电场力和重力平衡，小球做匀速圆周运动，根据动能定理知，mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得${v}_{1}=\sqrt{2gR}$，
根据牛顿第二定律得，$N=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}=2mg$．
再由牛顿第三定律得，小球到达C点时对轨道的压力为2mg，方向竖直向下．
（2）若$E′=\frac{2mg}{q}$，小球在最低点轨道的作用力为零，小球从A点正上方离A点的高度为H，根据牛顿第二定律得，
$qE′-mg=m\frac{{{v}_{c}}^{2}}{R}$，
解得${v}_{c}=\sqrt{gR}$，
根据动能定理得，mg（H+R）-qE′R=$\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}-0$，
解得H=$\frac{3R}{2}$，所以H至少为$\frac{3}{2}R$．
答：（1）小球到达C点时对轨道的压力为2mg，方向竖直向下．
（2）H至少为$\frac{3}{2}R$．

点评 本题考查了带电小球在电场和重力场中的运动，综合运用了动能定理、牛顿第二定律等知识，综合性强，对学生的能力要求较高，需加强这类题型的训练．