Question

（25分）一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环，其内、外半径分别为a₁、a₂，厚度可以忽略．两个表面都带有电荷，电荷面密度随离开环心距离r变化的规律均为，为已知常量．薄圆环绕通过环心垂直环面的轴以大小不变的角加速度减速转动，t = 0时刻的角速度为．将一半径为a₀ (a₀<<a₁)、电阻为R并与薄圆环共面的导线圆环与薄圆环同心放置．

试求在薄圆环减速运动过程中导线圆环中的张力F与时间t的关系．

提示：半径为r、通有电流I的圆线圈（环形电流），在圆心处产生的磁感应强度为（k为已知常量）

Answer 1

用半径分别为r₁（>a₁），r₂，…，r_i，…，r_n–1（<a₂）的n-1个同心圆把塑料薄圆环分割成n个细圆环．第i个细圆环的宽度为，其环带面积

式中已略去高阶小量．，该细圆环带上、下表面所带电荷量之和为

设时刻t，细圆环转动的角速度为ω ，

单位时间内，通过它的“横截面”的电荷量，即为电流

               

由环形电流产生磁场的规律，该细圆环的电流在环心产生的磁感应强度为

                              (1)

式中是一个微小量，注意到，有                

                         (2)

将各细圆环产生的磁场叠加，由（1）、（2）式得出环心O点处的磁感应强度：

         (3)        

由于a₀<<a₁，可以认为在导线圆环所在小区域的磁场是匀强磁场，可由O点的场表示．磁场对导线环的磁通量

       (4)

由于是变化的，所以上述磁通量是随时间变化的，产生的感应电动势的大小为

   (5)

由全电路欧姆定律可知，导线环内感应电流的大小为

                            (6)

设题图中薄圆环带正电作逆时针旋转，穿过导线圆环的磁场方向垂直纸面向外，由于薄圆环环作减角速转动，穿过导线圆环的磁场逐渐减小，根据楞次定律，导线圆环中的感应电流亦为逆时针方向，导线圆环各元段Δl所受的安培力都沿环半径向外．现取对于y轴两对称点U、V，对应的二段电流元所受的安培力的大小为

                             (7)

方向如图所示，它沿x及y方向分量分别

                    (8)

                    (9)

根据对称性，作用于沿半个导线圆环QMN上的各电流元的安培力的x分量之和相互抵消，即

                   (10)

（式中，当时，是正的，当时，是负的，故），

而作用于沿半个导线圆环QMN上的各电流元的安培力的y分量之和为

                 (11) 

（式中，由于θ 在0~π之间都是正的，故），

即半个导线圆环上受的总安培力的大小为，方向沿y正方向，由于半个圆环处于平衡状态，所以在导线截面Q、N处所受（来自另外半个圆环）的拉力（即张力）F应满足．由（3）、（6）两式得 

    (12)

由（12）式可见，张力F随时间t线性减小．