Question

如图所示，光滑水平面AB与位于竖直面内的半圆形轨道在B点平滑连接，半圆形轨道表面粗糙，半径为R．一个质量为m的静止小物块在A点处压紧弹簧，弹簧弹开时小物块在弹力的作用下获得动能向右运动，当它到达B点进入半圆轨道的瞬间，小物块对轨道的压力为其自身重力的7倍，之后沿轨道向上恰能完成圆运动到达C点．求：
（1）弹簧对小物块的弹力所做的功；
（2）小物块从B点沿圆轨道至C点的过程中克服阻力所做的功；
（3）小物块离开C点后落回水平面时距B点的距离．

Answer 1

分析：（1）物块在B点做圆周运动，由牛顿第二定律可以求出到达B点时的速度，然后由能量守恒定律可以求出弹簧对物块所做的功；
（2）物体恰能通过最高点，故说明此时重力恰好充当向心力，由向心力公式可得出C点的速度；由动能定理可以求出克服摩擦力所做的功．
（3）物体离开C点后做平抛运动，由平抛运动的规律可求得物体落回到水平面上经过的水平距离．

解答：解：（1）物块在B点时做圆周运动，
由牛顿第二定律得：F-mg=m

v2

R

  ①，
由牛顿第三定律得：F=F′=7mg  ②，
弹簧对物块做的功转化为物块的动能，
弹簧对物体做的功W=

1

2

mv²=3mgR；
（2）物块恰能完成圆运动到达C点，
在C点由牛顿第二定律得：mg=m

v 2 C

R

物块在C点的速度：v_C=

gR

  ③，
从B到C过程中，由动能定理得：
W_f-mg?2R=

1

2

mv_C²-

1

2

mv²  ④，
由①②③④解得：W_f=-

1

2

mgR，
则克服摩擦力做功

1

2

mgR；
（3）物块离开C点后做平抛运动，
在竖直方向上：2R=

1

2

gt²，t=

4R g

，
水平方向：x=v_Ct=

gR

×

4R g

=2R；
答：（1）弹簧对小物块的弹力所做的功为3mgR；（2）小物块从B点沿圆轨道至C点的过程中克服阻力所做的功为

1

2

mgR；（3）小物块离开C点后落回水平面时距B点的距离为2R．

点评：本题可分为弹性势能转化为动能、动能转化为重力势能及平抛三个过程，三个过程中机械能均守恒，正确利用好机械能守恒定律即可正确求解．