Question

1．如图所示，质量为m的月球探测器在圆形轨道Ⅰ上运动，在A点处进入椭圆轨道Ⅱ，在B点处再次变轨进入轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，其中轨道Ⅲ的半径可认为近似等于月球的半径R，此时运行周期为T，变轨过程中探测器质量的变化忽略不计．已知轨道I半径为2R，引力常量为G，下列说法正确的是（　　）

• A． 月球的密度为$\frac{3π}{GT}$
• B． 探测器在轨道I上运动的周期是在轨道Ⅱ上运动的周期的$\sqrt{\frac{27}{64}}$倍
• C． 探测器在轨道Ⅱ上运动时，B处速度大小是A处速度大小的3倍
• D． 探测器从轨道I运动到轨道Ⅲ，合外力对探测器做功为$\frac{m{R}^{2}{π}^{2}}{{T}^{2}}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力求月球质量，再根据密度公式求密度；根据开普勒第三定律求探测器在轨道Ⅰ上运动的周期与轨道Ⅱ上周期之比；根据牛顿第二定律求出AB处的向心加速度之比，再由$a=\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$求出A、B处速度之比；根据动能定理求合外力对探测器做的功；

解答 解：A、探测器在轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，得月球质量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，月球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$，故A错误；
B、椭圆轨道Ⅱ的长轴为3R，半长轴为$\frac{3}{2}R$，根据开普勒第三定律，有$\frac{{T}_{Ⅰ}^{2}}{{T}_{Ⅱ}^{2}}=\frac{（2R）_{\;}^{3}}{（\frac{3}{2}R）_{\;}^{3}}=\frac{64}{27}$，得$\frac{{T}_{Ⅰ}^{\;}}{{T}_{Ⅱ}^{\;}}=\sqrt{\frac{64}{27}}$，所以探测器在轨道Ⅰ上运动的周期是在轨道Ⅱ上运动的周期的$\sqrt{\frac{64}{27}}$倍，故B错误；
C、根据牛顿第二定律，$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=ma$，得$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$，B处的向心加速度是A处的4倍，再根据$a=\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，因为椭圆的对称性，所以AB两点的曲率半径相等，所以B处速度大小是A处速度大小的2倍，故C错误；
D、探测器围绕地球做匀速圆周运动的线速度$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，在轨道I和轨道Ⅲ上的线速度之比，$\frac{{v}_{Ⅰ}^{\;}}{{v}_{Ⅲ}^{\;}}=\sqrt{\frac{R}{2R}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，在轨道Ⅲ线速度${v}_{Ⅲ}^{\;}=\frac{2πR}{T}$，在轨道Ⅰ上的线速度${v}_{Ⅰ}^{\;}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{2πR}{T}$，根据动能定理，合外力对探测器做功$W=\frac{1}{2}m{v}_{Ⅲ}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{Ⅰ}^{2}$=$\frac{1}{2}m（\frac{2πR}{T}）_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m（\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{2πR}{T}）_{\;}^{2}$=$\frac{m{R}_{\;}^{2}{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}$，故D正确；
故选：D

点评 解决本题的关键是掌握万有引力定律的两个重要理论：万有引力提供向心力，并能灵活运用．