Question

如图所示，质量为m的绝缘球与质量为M=19m的金属球并排悬挂，已知悬挂绝缘球的细线的长度为l．现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=60⁰的位置自由释放，下摆后在最低点与金属球发生弹性碰撞．在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场．已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处．求
（1）绝缘球与金属球第一次碰撞前瞬间的速度大小；
（2）绝缘球与金属球第一次碰撞后瞬间的速度大小和方向；
（3）经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45⁰．

Answer 1

分析：先根据机械能守恒定律求出小球返回最低点的速度，然后根据动量守恒定律和机械能守恒定律求出碰撞后小球的速度，对速度表达式分析，求出碰撞n次后的速度表达式，再根据机械能守恒定律求出碰撞n次后反弹的最大角度，结合题意讨论即可．

解答：解：（1）设小球m的摆线长度为l，小球m在下落过程中与M相碰之前满足机械能守恒：
mgl(1-cosθ)=

1

2

mv02，
解得：v₀=

gl

          
（2）m和M碰撞过程满足：
mv₀=MV_M+mv₁；

1

2

mv02=

1

2

mv12+

1

2

MVM2      
联立得：v1=

m-M

m+M

v0=-

9

10

gl

，负号表示速度的方向水平向右．
（3）由（1）可知，小球m反弹后又以反弹速度v₁和小球M发生碰撞，满足：
mv₁=MV_M1+mv₂

1

2

mv12=

1

2

mv22+

1

2

MVM12
解得：v2=

m-M

m+M

|v1|
整理得：v2=-(

m-M

m+M

)2v0；
所以：vn=|(

m-M

m+M

)nv0|
而偏离方向为45°的临界速度满足：mgl(1-cos45°)=

1

2

mv临界2
联立代入数据解得，当n=2时，v₂＞v_临界；
当n=3时，v₃＜v_临界．所以最多碰撞3次．   
答：（1）绝缘球与金属球第一次碰撞前瞬间的速度大小为

gl

；
（2）绝缘球与金属球第一次碰撞后瞬间的速度大小为

9

10

gl

，方向水平向右；
（3）经过3次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°．

点评：本题关键求出第一次反弹后的速度和反弹后细线与悬挂点的连线与竖直方向的最大角度，然后对结果表达式进行讨论，得到第n次反弹后的速度和最大角度，再结合题意求解．