Question

如图所示的平行板器件中，存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度B₁=0.20T，方向垂直纸面向里，电场强度E₁=1.0×10⁵V/m，PQ为板间中线．紧靠平行板右侧边缘xoy坐标系的第一象限内，有一边界AO，与y轴的夹角∠AOy=45°，边界线的上方有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度 B₂=0.25T，边界线的下方有竖直向上的匀强电场，电场强度E₂=5.0×10⁵V/m，一束带电量q=8.0×10^-19C、质量m=8.0×10^-26kg的正离子从P点射入平行板间，沿中线PQ做直线运动，穿出平行板后从y轴上坐标为（0，0.4m）的Q点垂直y轴射入磁场区，多次穿越边界限OA．求：
（1）离子运动的速度为多大？
（2）离子通过y轴进入磁场到第二次穿越边界线OA所需的时间？
（3）离子第四次穿越边界线的位置坐标．

Answer 1

分析：（1）带电粒子电场力与洛伦兹力平衡时，即可求解；
（2）离子在洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可求出半径；离子在电场中做匀减速运动，根据运动学公式可求出发生位移，从而确定离子的运动时间，从而即可求解；
（3）根据左手定则，可确定离子偏转方向，由几何特性，可知离子再次进入电场后做类平抛运动，从而根据平抛运动的规律，运用运动的合成与分解，即可求解．

解答：解：（1）设离子的速度大小为v，由于沿中线PQ做直线运动，则有：qE₁=qvB₁，
代入数据解得：v=5×10⁵ m/s，
（2）离子进入磁场，做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有：qvB₂=m

v2

r

代入数据解得：r=0.2 m，
作出离子的运动轨迹，交OA边界于N，如图所示：OQ=2r，

若磁场无边界，一定通过O点，则圆弧QN的圆周角为45°，
则轨迹圆弧的圆心角为θ=90°，过N点做圆弧切线，方向竖直向下，
离子垂直电场线进入电场，做匀减速运动，
离子在磁场中运动为：t1=

1

4

T=

πm

2qB

=

π×8.0×10-26

2×8.0×10-19×0.25

=2π×10-7s
离子在电场中的加速度：a=

F

m

=

qE

m

=

8.0×10-19×5.0×105

8.0×10-26

=5.0×1012m/s²．
而离子在电场中来回运动时间为：t2=2

v

a

=2×

5×105

5.0×1012

s=2.0×10-7s；
所以离子从进入磁场到第二次穿越边界线OA所需的时间为：t=t₁+t₂=（2π+2）×10^-7s=8.3×10^-7s．
（3）离子当再次进入磁场后，根据左手定则，可知洛伦兹力水平向右，导致离子向右做匀速圆弧运动，恰好完成

1

4

周期，当离子再次进入电场后，做类平抛运动，由题意可知，类平抛运动的速度的方向位移与加速度的方向的位移相等，根据运动学公式，则有：vt3=

1

2

a

t

2 3

，
代入数据解得：t₃=2×10^-7s
因此离子沿着速度的方向的位移为：x₃=vt₃=0.1m，
所以离子第四次穿越边界线的x轴的位移为：x=R+R+x₃=0.2m+0.2m+0.1m=0.5m，
则离子第四次穿越边界线的位置的坐标为（0.5m，0.5m）
答案：（1）离子在平行板间运动的速度大小5.0×10⁵ m/s．
（2）离子从进入磁场到第二次穿越边界线OA所需的时间为8.3×10^-7s．
（3）离子第四次穿越边界线的位置坐标（0.5m，0.5m）．

点评：考查带电粒子做匀速圆周运动与类平抛运动中，用牛顿第二定律与运动学公式，并结合几何关系来处理这两种运动，强调运动的分解，并突出准确的运动轨迹图．