Question

（19分）如图所示，磁感应强度为B方向垂直纸面向里的匀强磁场中有一粒子源，粒子源从O点在纸面内均匀地向各个方向同时发射速率为υ，比荷为k的带正电粒子.PQ是垂直纸面放置,厚度不计的挡板，挡板的P端与O点的连线跟挡板垂直，粒子打在挡板上会被吸收。带电粒子的重力及粒子间的相互作用力忽略不计，磁场分布的区域足够宽广。 

（1）为了使带电粒子不打在挡板上，粒子源到挡板的距离d应满足什么条件？
（2）若粒子源到挡板的距离d=，则挡板至少多长，挡板吸收的粒子数占总粒子数的比值最大，并求该值。

Answer 1

      5:12.

试题分析：（1）当运动粒子只受洛伦兹力时，在磁场中做匀速圆周运动，题中源向各个方向发射粒子，则粒子的分布区域为以粒子源为圆心，圆周运动是直径为半径的圆形区域，故要是粒子不打在板上，板离粒子源的距离应大于，区域半径。（2）根据第一问中求出的粒子做圆周运动的半径，与粒子源到挡板距离间的关系可判断出吸收粒子最多时挡板的长度，以及打在板上的粒子发射角度范围，角度范围与圆周角2π的比值即为挡板吸收的粒子数占总粒子数的比值。
（1）设带电粒子的质量为m，电量为q，粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供圆周运动的向心力，设圆周运动的半径为r，有：
①（2分）
粒子能打在挡板上的临界情形如图a所示，所以粒子不打在挡板上，d应满足：d>2r      ②（2分）
由①②式并代入数据可得:    （2分）

（2）在挡板左侧，能打到挡板上部最远点的粒子轨迹恰好和挡板相切，如图b中的轨迹1所示
由①式及已知数据知粒子的轨迹半径r=="OP"      ③（2分）

可知：PN=      ④（2分）
轨迹1是初速度方向沿OP方向的粒子轨迹
设粒子初速度方向与OP成θ角，如图b所示，随着θ角从0开始增大，粒子打在挡板上的点从N点逐渐下移，当粒子刚好通过P点时，粒子开始打在挡板的右侧，设此时打在挡板上的点为M，如图b中轨迹2，在△OPM中，由几何关系可知：
PM= ⑤（1分）
由③⑤得PM=      （1分）
当θ角继续增大，粒子打在挡板上的点从M点逐渐下移至P点，设此时如图b中轨迹3，由几何关系可知此时
θ=    ⑥（2分）
由以上分析可知，挡板长度至少等于，挡板吸收的粒子数与总粒子数比值最大（2分），
挡板吸收的粒子数与总粒子数最大比值η=        ⑦（1分）
由⑥⑦式可得最大比值η=5:12.  （2分）