Question

（22分）如图甲所示，静电除尘装置中有一长为L、宽为b、高为d的矩形通道，其前、后面板使用绝缘材料，上、下面板使用金属材料。图乙是装置的截面图，上、下两板与电压恒定的高压直流电源相连。质量为m、电荷量为-q、分布均匀的尘埃以水平速度v₀进入矩形通道，当带负电的尘埃碰到下板后其所带电荷被中和，同时被收集。通过调整两板间距d可以改变收集效率η。当d=d₀时η为81%（即离下板081d₀范围内的尘埃能够被收集）。不计尘埃的重力及尘埃之间的相互作用。

⑴求收集效率为100%时，两板间距的最大值d_m；
⑵求收集率η与两板间距d的函数关系；
⑶若单位体积内的尘埃数为n，求稳定工作时单位时间下板收集的尘埃质量ΔM/Δt与两板间距d的函数关系，并绘出图线。

Answer 1

（1）  （2）（3）

（1）收集效率为81%，即离下板0.81d₀的尘埃恰好到达下板的右端边缘，设高压电源的电压为，在水平方向有                   ①
在竖直方向有                                ②
其中                                  ③
当减少两板间距是，能够增大电场强度，提高装置对尘埃的收集效率。收集效率恰好为100%时，两板间距为。如果进一步减少，收集效率仍为100%。
因此，在水平方向有                                                   ④
在竖直方向有                                                      ⑤
其中                                                    ⑥
联立①②③④⑤⑥可得                                             ⑦
（2）通过前面的求解可知，当时，收集效率为100%                   ⑧
当时，设距下板处的尘埃恰好到达下板的右端边缘，此时有
                                                             ⑨
根据题意，收集效率为                                                 ⑩
联立①②③⑨⑩可得
（3）稳定工作时单位时间下板收集的尘埃质量=
当时，，因此=
当时，，因此=
绘出的图线如下