Question

如图甲所示，两平行金属板A、B的板长L＝0.2m，板间距d＝0.2m，两金属板间加如图乙所示的交变电压，并在两板间形成交变的匀强电场，忽略其边缘效应。在金属板右侧有一方向垂直于纸面向里的匀强磁场，其左右宽度D＝0.4m，上下范围足够大，边界MN和PQ均与金属板垂直，匀强磁场的磁感应强度B＝1×10^－2 T．现从t＝0开始，从两极板左侧的中点O处以每秒钟1000个的数量均匀连续地释放出某种正电荷粒子，这些粒子均以v₀＝2×10⁵ m/s的速度沿两板间的中线OO′连续进入电场，已知带电粒子的比荷＝1×10⁸C/kg，粒子的重力和粒子间的相互作用都忽略不计，在粒子通过电场区域的极短时间内极板间的电压可以看作不变．求：

(1)t＝0时刻进入的粒子，经边界MN射入磁场和射出磁场时两点间的距离；
(2)在0～1s内有多少个带电粒子能进入磁场；
(3)何时由O点进入的带电粒子在磁场中运动的时间最长？

Answer 1

（1）0.4m（2）（3）t＝4n+0.6（s）或t＝4n+1.4（s） （n＝0，1，2……）

（18分，每问6分）
解：（1）t＝0时刻，电压为0，粒子匀速通过两板进入磁场，
                      （2分)
                  （2分)
r<D，则粒子在MN边界射出磁场。
入射点和出射点的距离为s＝2r＝0.4m        （2分)
（2）粒子在两板间做类平抛运动，刚好打到板最右端时，
L＝v₀t₁                             （3分)
U₀＝400V                                      （1分)
则0～1s内能够进入磁场的粒子个数为   （2分)
（3）假设两板加电压为U时，粒子向下偏转并进入磁场，刚好与磁场PQ边界相切，
在磁场中，
由几何关系得，R+Rsinθ＝D                             （2分)
在电场中，
联立解得：θ＝37⁰

U＝300V                                             （2分)
U<U₀＝400V，则当两板电压U＝300V，且粒子向下偏转时，粒子在磁场中运动的时间最长，对应入射的时刻为
t＝4n+0.6（s）或t＝4n+1.4（s） （n＝0，1，2……）           （2分)
本题考查的是带电粒子在电场和磁场中运动的情况，由于t=0时刻粒子匀速直线通过电场，垂直边界进入磁场，在磁场中作匀速圆周运动，做半周运动射出磁场，只需计算出圆周运动的半径，即可；粒子在两板间做类平抛运动，刚好打到板最右端时，能进入磁场，根据这个条件算出能进入磁场的粒子个数；根据洛伦兹力的方向可知向下偏转时粒子进入磁场的运动时间最长，根据几何关系可以得到粒子运动时间最长时两板的电压，从而的到粒子入射时刻。