Question

10．如图甲所示，一竖直平面内的轨道由粗糙斜面AD和光滑圆轨道DCE组成，AD与DCE相切于D点，C为圆轨道的最低点，将一小物块置于轨道ADC上离地面高为H处由静止释放，用压力传感器测出其经过C点时对轨道的压力N，改变H的大小，可测出相应的N的大小，N随H的变化关系如图乙折线PQI所示（PQ与QI两直线相连接于Q点），QI反向延长交纵轴于F点（0，5.8N），重力加速度g取lm/s²，求：

（1）图线上的PQ段是对应物块在哪段轨道上由静止释放（无需说明理由）？并求出小物块的质量m；
（2）圆轨道的半径R、轨道DC所对应的圆心角θ；
（3）小物块与斜面AD间的动摩擦因数μ．

Answer 1

分析 （1）从图象得到H=0时的弹力，即为物体的重力，从而得到物体的质量m；
（2）结合图象可以得到当H=0.2m时，物体恰好在斜面最低点，根据机械能守恒定律和向心力公式联立列式求解出圆轨道的半径R，然后可根据几何关系得到轨道DC所对圆心角；
（3）对滑块从最高点到C点的过程运用动能定理列式，再对最低点运用向心力公式和牛顿第二定律列式，联立后求解出弹力的一般表达式，再根据图象求解出动摩擦因数．

解答 解：（1）对应物块在DC轨道上运动，由图线可知，H=0时静止于P点，则 N=mg=5N，得 m=0.5kg．
（2）当物块在圆轨道DC上运动时由动能定理得
   mgH=$\frac{1}{2}$mv²
解得 v=$\sqrt{2gH}$                             ①
由向心力公式得 N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$       ②
由①、②式可得N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$+mg=$\frac{2mg}{R}$H+mg；
由图象斜率可知 $\frac{2mg}{R}$=10  得 R=1m
据分析图象中的PQ部分对应光滑轨道DC段，D点离开地面的高度
  H_D=R（1-cosθ）=1×（1-cosθ）=0.2
解得 θ=37°．
（3）当物块由斜面上滑下时由动能定理得
   mgH-μmgcosθ$\frac{（H-0.2）}{sinθ}$=$\frac{1}{2}$mv²   ③
③式代入向心力公式 N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得 N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$+mg=$\frac{2mg-\frac{8}{3}μmg}{R}$H+$\frac{1.6}{3}$μmg+mg
结合QI曲线知 $\frac{1.6}{3}$μmg+mg=5.8
解得 μ=0.3．
答：
（1）小物块的质量m为0.5kg．
（2）圆轨道的半径及轨道DC所对圆心角37°．
（3）小物块与斜面AD间的动摩擦因数μ为0.3．

点评 本题关键是对分析清楚滑块的各个运动过程，把握每个过程和状态的物理规律，然后运用动能定理、机械能守恒定律和向心力公式，得到表达式，再研究图象的物理意义．