Question

水平金属轨道AB、C D间距L=1m，在EF的右方足够大的空间范围内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B=2T．质量分别为0.2Kg、0.1Kg的金属杆a、b与导轨接触良好，电阻分别为R_a=2Ω，R_b=4Ω．两杆同时以初速度大小均为v₀=5m/s相向运动，从杆a滑到EF位置开始计时，a、b杆运动的速度-时间图象如图乙中的a、b示．以杆a的运动方向为正．求：

（1）当b杆的速度减为零的瞬时，a杆的速度是多少？此时b杆受到的安培力是多大？
（2）两杆开始运动到a、b杆达到共同速度时，b杆上产生的焦耳热
（3）从b杆开始运动到速度减为零的过程中，通过杆b的电量．

Answer 1

分析：（1）杆a进入磁场前作匀速运动，进入磁场后，两杆所受的安培力大小相等，方向相反，系统动量守恒，根据动量守恒定律求出b杆速度为零时，a杆的速度．结合切割产生的感应电动势公式、闭合电路欧姆定律和安培力大小公式求出此时b杆所受的安培力大小．
（2）根据动量守恒定律求出两杆的共同速度，结合能量守恒定律求出整个电路产生的焦耳热，从而得出b杆上产生的焦耳热．
（3）通过平均电流得出平均安培力的大小，通过动量定理求出通过杆b的电量．

解答：解：（1）杆a进入磁场前作匀速运动，故t=0时，速度仍为v₀=5m/s．
a杆进入磁场后，a、b均作切割磁感线运动，产生感应电流，a、b所受安培力总是大小相等，方向相反，故a、b杆动量守恒．
设杆b的速度减为0时，杆a的速度为v_a，则有：
m_av₀+m_bv=m_av_a
在图象上可知，v=-4m/s，代入解得v_a=3m/s．
此时杆a产生的感应电动势E=BLv_a=2×1×3V=6V．
流过b杆的电流I=

E

Ra+Rb

=

6

2+4

A=1A．
B杆所受的安培力F=BIL=2×1×1N=2N．
（2）最终a、b杆具有相同的速度v_共，杆a进入磁场后，由动量守恒定律得，
m_av₀+m_bv=（m_a+m_b）v_共
由v=-4m/s代入数据解得v_共=2m/s．
全过程全电路总共生热Q总=

1

2

(ma+mb)v02-

1

2

(ma+mb)v共2=

1

2

×0.3×25-

1

2

×0.3×4v共2=

1

2

×0.3×25-

1

2

×0.3×4=3.15J．
B杆生热Qb=

Rb

Ra+Rb

Q总=

4

2+4

×3.15J=2.1J．
（3）设b杆从开始运动到速度为零的过程中，流过b杆的平均电流为

.

I

，所用时间为t，
由动量定理有：B

.

I

Lt=-mb(-v0)
通过b杆的电量q=

.

I

t=

mbv0

BL

=

0.1×5

2×1

=0.25C．
答：（1）当b杆的速度减为零的瞬时，a杆的速度是3m/s，b杆所受的安培力为2N．
（2）两杆开始运动到a、b杆达到共同速度时，b杆上产生的焦耳热为2.1J．
（3）从b杆开始运动到速度减为零的过程中，通过杆b的电量为0.25C．

点评：本题综合考查了动量守恒定律、能量守恒定律、动量定理等，综合性较强，对学生的能力要求较高，关键抓住a、b杆组成的系统动量守恒进行解决．是道难题．