Question

（2011?温州模拟）如图所示，半径为r、圆心为O₁的虚线所围的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，在磁场右侧有一竖直放置的平行金属板C和D，两板间距离为L，在MN板中央各有一个小孔O₂、O₃．O₁、O₂、O₃在同一水平直线上，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距也为L．M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为M的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直，闭合回路（导轨与导体棒的电阻不计）．整套装置处于匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B，磁场方向垂直于斜面向上．整个装置处在真空室中，有一电荷量为+q、质量为m的粒子（重力不计），以速率v₀从圆形磁场边界上的最低点E沿半径方向射入圆形磁场区域，最后从小孔O₃射出．现释放导体棒ab，其沿着斜面下滑h后开始匀速运动，此时仍然从E点沿半径方向射入圆形磁场区域的相同粒子恰好不能从O₃射出，而从圆形磁场的最高点F射出．求：
（1）圆形磁场的磁感应强度B′．
（2）导体棒的质量M．
（3）棒下落h的整个过程中，导体棒ab克服安培力做的功为多少？

Answer 1

分析：（1）在圆形磁场中做匀速圆周运动，由几何关系结合洛仑兹力提供向心力公式求解．
（2）粒子恰好不能从O₃射出的条件是到达O₃速度是零，根据动能定理列出等式．导体棒ab做匀速运动时，根据平衡条件求解．
（3）导体棒匀速运动时，根据法拉第电磁感应定律表示出速度，安培力做功量度其他形式的能量转化为电能的多少，棒下落h的整个过程中导体棒ab重力势能减小，转化成动能和电能．根据能量守恒求解．

解答：解：（1）在圆形磁场中做匀速圆周运动，由几何关系可以知道半径为r，
洛仑兹力提供向心力qv₀B=

mv 2 0

r

得B′=

mv0

qr

（2）根据题意粒子恰好不能从O₃射出的条件为

1

2

m

v

2 0

=qU_ab①
导体棒ab做匀速运动时，根据平衡条件得
Mgsinθ=BIL=

BLUab

R

解得M=

BL mv 2 0 2gqRsinθ

           
（3）导体棒匀速运动时，速度大小为v_m，则U_ab=BLv_m
代入①中得：v_m=

mv 2 0

2qBL

       
安培力做功量度其他形式的能量转化为电能的多少，棒下落h的整个过程中导体棒ab重力势能减小，转化成动能和电能．      
由能量守恒得：W_克安=Mghsinθ-

1

2

M

v

2 m

   
解得W_克安=

BLm hv 2 0 sinθ

2qR

-

m3v 6 0

16gBLRq3

答：（1）圆形磁场的磁感应强度是

mv0

qr

．
（2）导体棒的质量是

BL mv 2 0 2gqRsinθ

．
（3）棒下落h的整个过程中，导体棒ab克服安培力做的功为

BLm hv 2 0 sinθ

2qR

-

m3v 6 0

16gBLRq3

．

点评：该题考查了磁场、电路、电磁感应等多个知识点，关键在于清楚的分析粒子的运动过程和导体棒ab所处的状态．
对于应用能量守恒解题时要清楚知道各种形式的能量转化的方向．