Question

如图所示，水平平板小车质量为m=2kg，其上左端放有一质量为M=6kg的铁块，铁块与平板车间的动摩擦因数μ=0.5，今二者以10m/s的速度向右运动，并与墙发生弹性碰撞，使小车以大小相同的速度反弹回，这样多次进行，求：
①欲使M不从小车上落下，小车至少多长？
②第一次反弹后到最终状态，小车运动的总路程．（小车与水平面的摩擦不计，g=10m/s²）

Answer 1

①取平板车与铁块为研究系统，由M＞m，系统每次与墙碰后m反向时，M仍以原来速度向右运动，系统总动量向右，故会多次反复与墙碰撞，每次碰后M都要相对m向右运动，直到二者停在墙边，碰撞不损失机械能，系统的动能全在M相对m滑动时转化为内能．设M相对m滑动的距离为s，则有：
μMgs=

1

2

（m+M）v²
解得：s=

(m+M)v2

2μMg

=

40

3

m
欲便M不从小车上落下，则L≥s，故小车长为：L≥

40

3

m
②小车第一次反弹向左以10m/s的速度做减速运动，直到速度为零，其加速度大小为：a=

μMg

m

=15m/s2
故小车第一次向左的最大位移为：s₁=

v02

2a

代入数据得：s1=

10

3

m
设小车第n-1次碰前速度为v_n-1，第n次碰前速度为v_n，则第n-1次碰后到第n次碰前过程动量守恒，有：Mv_n-1-mv_n-1=（m+M）v_n，
所以有：v_n=

M-m

M+m

v_n-1=

1

2

v_n-1
第n-1次碰后小车反弹速度为v_n-1，向左减速的最大位移为：s_n-1=

vn-12

2a

随后向右加速距离为：s′=

vn2

2a

显然有：v_n＜v_n-1，s′＜s_n-1
所以在碰前有相等速度，第n次碰后向左运动的最大位移为：
s_n=

vn2

2a

所以有：

sn

sn-1

=

vn2

vn-12

=

1

4

，
即成等比数列．小车运动的总路程为：
s=2(s1+s2+s3+…+sn…)=

2s1

1- sn sn-1

=

2× 10 3

1- 1 4

=

80

9

m
答：①欲使M不从小车上落下，小车至少

40

3

m．
②第一次反弹后到最终状态，小车运动的总路程

80

9

m．