Question

一轻绳一端连接一小球，另一端固定在悬点上．整个装置处于真空室内．开始时小球静止在最低点，一方向水平的冲量I₁在极短时间内作用到小球上，使小球在竖直面内来回摆动，如图中①．此后，当小球某一次摆动到最高点时，又有另一方向水平的冲量I₂在极短时间内作用到小球上，此后小球在水平面内做匀速圆周运动，如图中②，而且绳子的拉力大小与前面小球在摆动过程中绳子拉力的最大值相等．求冲量I₁和冲量I₂大小的比值

I1

I2

．

Answer 1

分析：摆动的小球在摆动过程中机械能守恒，则由机械能守恒可求得小球在最低点的速度，由牛顿第二定律可求得最低点时绳子的拉力表达式；
做圆周运动的小球重力的分力充当向心力，则可得出向心力的表达式，联立可求得冲量的比值．

解答：解：设小球质量为m，绳子长度为l，最大摆角为θ．在第一过程中I₁=mv₁①
小球摆动过程机械能守恒

1

2

m

v

2 1

=mgl(1-cosθ)②
小球在最低点时绳子拉力最大Fm-mg=m

v 2 1

l

③
小球在水平面内做匀速圆周运动，小球速度大小为v₂．I₂=mv₂④
设绳子拉力为F，则mg=Fcosθ⑤
小球的向心力Fn=mgtanθ=m

v 2 2

r

⑥
圆周半径r=lsinθ⑦
联立以上各式并将F_m=F代入可解得

I1

I2

=

6

3

⑧
答：冲量I₁和I₂的比值为

6

3

．

点评：本题将摆动和圆周运动结合在一起，注意摆动时机械能守恒，速度在发生变化；而匀速圆周运动，速度保持不变，合外力充当向心力．